Calcule a área da região indicada
A região comum ao círculo
e a cardióide
A região comum ao círculo
Passo 1
Temos que calcular a área da região comum ao círculo
e à cardioide
. O conteúdo é área em coordenadas polares e vamos precisar da fórmula de área
, além de encontrar pontos de interseção e decidir em cada intervalo qual curva limita a região.
Passo 2
Para achar onde as curvas se cruzam, igualamos
, o que dá
Passo 3
Precisamos ver qual das duas curvas fica “por dentro” em cada trecho. No intervalo
temos
, logo
e a região comum é limitada por
. Para
vale
, então a região é limitada por
.
Passo 4
A área total é dado por duas vezes a parte positiva em
. Calculando, notamos que o fator 2 anula o
da fórmula, de modo que
$$A=\int_{0}{\pi/3}(1-\cos\theta)2,d\theta;+
\int_{\pi/3}{\pi/2}\cos2\theta,d\theta.$$
Passo 5
Vamos primeiro calcular
. Expandindo,
Passo 6
Isso dá
$$I_1=\frac{\pi}{3}-2\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{8}\Bigr)
=\frac{\pi}{2}-\frac{7\sqrt3}{8}.$$
Passo 7
Agora
. Usamos
:
Passo 8
Somando
obtemos
$$A=\Bigl(\frac{\pi}{2}-\frac{7\sqrt3}{8}\Bigr)+\Bigl(\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt3}{8}\Bigr)
=\frac{7\pi}{12}-\sqrt3.$$