Calcule a área da região indicada
A região comum ao círculo r=cos theta e a cardióide r=1-cos theta

Passo 1

Temos que calcular a área da região comum ao círculo r=costheta e à cardioide r=1-costheta. O conteúdo é área em coordenadas polares e vamos precisar da fórmula de área A=12integral r(theta)^2,dtheta, além de encontrar pontos de interseção e decidir em cada intervalo qual curva limita a região.

Passo 2

Para achar onde as curvas se cruzam, igualamos costheta=1-costheta, o que dá 2costheta=1impliescostheta=tfrac12impliestheta=pmtfracpi3

Passo 3

Precisamos ver qual das duas curvas fica “por dentro” em cada trecho. No intervalo |theta|<=tfracpi3 temos costheta>=tfrac12, logo 1-costheta<=costheta e a região comum é limitada por r=1-costheta. Para tfracpi3<=|theta|<=tfracpi2 vale costheta<=tfrac12, então a região é limitada por r=costheta.

Passo 4

A área total é dado por duas vezes a parte positiva em [0,tfracpi2]). Calculando, notamos que o fator 2 anula o tfrac12 da fórmula, de modo que
$$A=\int_{0}{\pi/3}(1-\cos\theta)2,d\theta;+
\int_{\pi/3}{\pi/2}\cos2\theta,d\theta.$$

Passo 5

Vamos primeiro calcular I1=integral0^pi/3(1-costheta)^2,dtheta. Expandindo,
I1=integral0^pi/3(1-2costheta+cos^2theta),dtheta =gl[thetagr]0^pi/3-2gl[sinthetagr]0^pi/3+gl[theta2+sin2theta4gr]0^pi/3

Passo 6

Isso dá
$$I_1=\frac{\pi}{3}-2\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{8}\Bigr)
=\frac{\pi}{2}-\frac{7\sqrt3}{8}.$$

Passo 7

Agora I2=integralpi/3^pi/2cos^2theta,dtheta. Usamos cos^2theta=(1+cos2theta)/2:
I2=integralpi/3^pi/21+cos2theta2,dtheta =l[theta2+sin2theta4r]pi/3^pi/2 =pi4-l(pi6+raiz38r) =pi12-raiz38

Passo 8

Somando I1+I2 obtemos
$$A=\Bigl(\frac{\pi}{2}-\frac{7\sqrt3}{8}\Bigr)+\Bigl(\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt3}{8}\Bigr)
=\frac{7\pi}{12}-\sqrt3.$$

Resposta

7pi12-raiz3

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