Calcule a transformada inversa de Laplace mathscrL^-1 Y :
Y(s)=3 s+1s^2-4 s+8

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de Y(s)= 3s+1s^2-4s+8. Isso envolve conhecer o método de completar o quadrado no denominador e usar as fórmulas padrão de transformada inversa para termos do tipo (s-a)/[(s-a)^2+b^2] e b/[(s-a)^2+b^2].

Passo 2

Primeiro a gente completa o quadrado no denominador s^2-4s+8. Note que
s^2-4s+8 = (s-2)^2 + 4 = (s-2)^2 + 2^2

Passo 3

Agora escrevemos o numerador 3s+1 na forma A(s-2)+B. Queremos 3s+1 = A(s-2) + B = A s - 2A + B. Comparando coeficientes em s e constantes:
A = 3, -2A + B = 1 implies -6 + B = 1 implies B = 7

Passo 4

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Y(s)=3(s-2)+7(s-2)^2+2^2 = 3s-2(s-2)^2+2^2 + 71(s-2)^2+2^2

Passo 5

Sabendo que
mathscr L^-1ls-a(s-a)^2+b^2r = e^atcos(bt), mathscr L^-1lb(s-a)^2+b^2r = e^atsin(bt),temos que o primeiro termo vira 3e^2tcos(2t) e o segundo precisa ajustar o numerador para b=2:
71(s-2)^2+2^2 = 72cdot 2(s-2)^2+2^2implies 72e^2tsin(2t)

Passo 6

Portanto a transformada inversa é a soma desses dois resultados.

Resposta

y(t)=3e^2tcos(2t)+72e^2tsin(2t)

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