Calcule a transformada inversa de Laplace
:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace de Y(s) dado por
. O conteúdo aqui é transformada inversa de Laplace e vamos precisar usar a tabela de transformadas e decomposição em frações parciais.
Passo 2
Da tabela de transformadas temos
. Logo, imediatamente se obtém
.
Passo 3
Para tratar a parte
, reescrevemos o numerador:
. Então
[\frac{2s}{(s-1){2}}=\frac{2(s-1)}{(s-1){2}}+\frac{2}{(s-1){2}}=\frac{2}{s-1}+\frac{2}{(s-1){2}}]
[\frac{2s}{(s-1){2}}=\frac{2(s-1)}{(s-1){2}}+\frac{2}{(s-1){2}}=\frac{2}{s-1}+\frac{2}{(s-1){2}}]
Passo 4
Da tabela deslocamento:
e
. Assim,
[\mathscr{L}{-1}{\frac{2}{s-1}}=2e{t},\quad\mathscr{L}{-1}{\frac{2}{(s-1){2}}}=2t e^{t}]
[\mathscr{L}{-1}{\frac{2}{s-1}}=2e{t},\quad\mathscr{L}{-1}{\frac{2}{(s-1){2}}}=2t e^{t}]
Passo 5
Como o termo original vem com sinal negativo, sua contribuição no tempo é
. Somando com
, obtemos a solução completa.
Resposta
y(t)=\sin t - 2e^{t} - 2t e^{t}