Calcule a transformada inversa de Laplace mathscrL^-1 Y :
Y(s)=1s^2+1-2 s(s-1)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace de Y(s) dado por Y(s)=1s^2+1-2s(s-1)^2. O conteúdo aqui é transformada inversa de Laplace e vamos precisar usar a tabela de transformadas e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Da tabela de transformadas temos mathscrLsin t=1s^2+1. Logo, imediatamente se obtém mathscrL^-1tfrac1s^2+1=sin t.

Passo 3

Para tratar a parte -tfrac2s(s-1)^2, reescrevemos o numerador: 2s=2(s-1)+2. Então
[\frac{2s}{(s-1){2}}=\frac{2(s-1)}{(s-1){2}}+\frac{2}{(s-1){2}}=\frac{2}{s-1}+\frac{2}{(s-1){2}}]

Passo 4

Da tabela deslocamento: mathscrL^-1tfrac1s-1=e^t e mathscrL^-1tfrac1(s-1)^2=t,e^t. Assim,
[\mathscr{L}{-1}{\frac{2}{s-1}}=2e{t},\quad\mathscr{L}{-1}{\frac{2}{(s-1){2}}}=2t e^{t}]

Passo 5

Como o termo original vem com sinal negativo, sua contribuição no tempo é -2e^t-2t e^t. Somando com sin t, obtemos a solução completa.

Resposta

y(t)=\sin t - 2e^{t} - 2t e^{t}

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