Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
l(e^-y+1r)sin x,dx=(1+cos x),dy, com y(0)=0. O conteúdo é equações diferenciais separáveis: vamos precisar escrever dy/dx isolado, separar variáveis e integrar.

Passo 2

Reescrevemos a equação em forma de separação de variáveis. Dividindo ambos os lados por (1+cos x)(e^-y+1), obtemos
dye^-y+1=sin x1+cos x,dx

Passo 3

Agora integramos os dois lados. À esquerda reconhecemos que
integraldy1+e^-y=lnl(e^y+1r)+C1,
pois
ddyln(e^y+1)=e^ye^y+1=11+e^-y
À direita usamos t=1+cos x, com dt=-sin x,dx, logo
integralsin x1+cos x,dx=-integraldtt=-ln|1+cos x|+C2
Igualando as integrais e absorvendo constantes em uma só C vem
ln(e^y+1)=-ln(1+cos x)+C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=0. Em x=0 temos e^y+1=2 e 1+cos0=2, então
ln2=-ln2+CRightarrow C=ln4
Substituindo de volta:
ln(e^y+1)=-ln(1+cos x)+ln4 Longrightarrow(e^y+1)(1+cos x)=4

Passo 5

Por fim isolamos y:
e^y+1=41+cos x Longrightarrow e^y=41+cos x-1=3-cos x1+cos x
e logo
y(x)=lnl(3-cos x1+cos xr)

Resposta

y(x)=\ln\bigl((3-\cos x)/(1+\cos x)\bigr)

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