Resolva as equações diferenciais usando o método da separação das variáveis:

Passo 1

Estamos resolvendo a equação diferencial (1+x^2+y^2+x^2y^2),dy = y^2,dx usando separação de variáveis; o conteúdo aqui é identificar fatoração adequada e integrar funções racionais simples.

Passo 2

Repare que 1 + x^2 + y^2 + x^2y^2 = (1 + x^2)(1 + y^2). Assim, podemos reescrever a equação como
(1 + x^2)(1 + y^2),dy = y^2,dx

Passo 3

Agora separamos as variáveis colocando todos os termos com x de um lado e com y do outro:
dx1 + x^2 = 1 + y^2y^2,dy = l(y^-2 + 1r),dy

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral dx1 + x^2 = integral l(y^-2 + 1r),dy

Passo 5

Calculando as integrais:
integral dx1 + x^2 = arctan x + C1,
integral l(y^-2 + 1r),dy = integral y^-2dy + integral 1,dy = -1y + y + C2

Passo 6

Igualando as duas expressões e juntando as constantes em C:
arctan x = y - 1y + C

Passo 7

Essa é a forma implícita da solução geral da equação diferencial.

Resposta

arctan x = y - tfrac1y + C

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