Calcule a área da região indicada
A região fora da cardióide
e dentro da cardióide
A região fora da cardióide
Passo 1
O enunciado pede a área da região que fica fora da cardioide r=1+cosθ e dentro da cardioide r=1+sinθ. O conteúdo aqui é coordenadas polares e cálculo de área entre duas curvas dadas em r(θ). Vamos usar a fórmula de área em polares e precisar dos pontos de interseção dessas duas curvas.
Passo 2
Primeiro a gente encontra onde as duas curvas se cruzam resolvendo 1+cosθ = 1+sinθ, ou seja sinθ = cosθ. Isso ocorre quando θ = π/4 + k·π. No intervalo [0,2π] temos θ = π/4 e θ = 5π/4. Para saber onde r=1+sinθ é maior do que r=1+cosθ, analisamos o sinal de sinθ–cosθ e vemos que sinθ ≥ cosθ para θ ∈ [π/4, 5π/4].
Passo 3
Agora montamos a integral da área: em coordenadas polares a área entre duas curvas r_inner(θ) e r_outer(θ) de θ=a a θ=b é
Aqui r_outer = 1+\sinθ e r_inner = 1+\cosθ, com a=π/4 e b=5π/4.
Passo 4
Vamos simplificar integrando:
Expandindo:
Então
Passo 5
Dividindo a integral e calculando primitivas:
-
-
Logo
Avaliam-se as duas partes de θ=π/4 a θ=5π/4.
Passo 6
Ao avaliar os limites:
- Para $ -\cosθ - \sinθ $ em π/4 e 5π/4 dá 2√2.
- Para
em π/4 e 5π/4 a diferença é zero.
Portanto a área total é 2√2.
Resposta
2\sqrt{2}