Calcule a área da região indicada
A região fora da cardióide r=1+cos theta e dentro da cardióide r=1+sin theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região que fica fora da cardioide r=1+cosθ e dentro da cardioide r=1+sinθ. O conteúdo aqui é coordenadas polares e cálculo de área entre duas curvas dadas em r(θ). Vamos usar a fórmula de área em polares e precisar dos pontos de interseção dessas duas curvas.

Passo 2

Primeiro a gente encontra onde as duas curvas se cruzam resolvendo 1+cosθ = 1+sinθ, ou seja sinθ = cosθ. Isso ocorre quando θ = π/4 + k·π. No intervalo [0,2π] temos θ = π/4 e θ = 5π/4. Para saber onde r=1+sinθ é maior do que r=1+cosθ, analisamos o sinal de sinθ–cosθ e vemos que sinθ ≥ cosθ para θ ∈ [π/4, 5π/4].

Passo 3

Agora montamos a integral da área: em coordenadas polares a área entre duas curvas r_inner(θ) e r_outer(θ) de θ=a a θ=b é
A = 12integrala^b l(router(θ)^2 - rinner(θ)^2r),dθ
Aqui r_outer = 1+\sinθ e r_inner = 1+\cosθ, com a=π/4 e b=5π/4.

Passo 4

Vamos simplificar integrando:
A = 12integralπ/4^5π/4 l[(1+sinθ)^2 - (1+cosθ)^2r] dθ
Expandindo:
(1+sinθ)^2 - (1+cosθ)^2 = 2(sinθ-cosθ) - cos2θ
Então
A = 12integralπ/4^5π/4 l[2(sinθ-cosθ) - cos2θr] dθ

Passo 5

Dividindo a integral e calculando primitivas:
  • integral(sinθ-cosθ)dθ = -cosθ - sinθ
  • integralcos2θ,dθ = tfrac12sin2θ
    Logo
A = integralπ/4^5π/4(sinθ-cosθ)dθ ;- 12integralπ/4^5π/4cos2θ,dθ
Avaliam-se as duas partes de θ=π/4 a θ=5π/4.

Passo 6

Ao avaliar os limites:
  • Para $ -\cosθ - \sinθ $ em π/4 e 5π/4 dá 2√2.
  • Para -cosθ - sinθ em π/4 e 5π/4 a diferença é zero.
    Portanto a área total é 2√2.

Resposta

2\sqrt{2}

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