Calcule a área da região interior a cada curva dada abaixo
r^2=a^2 cos (2 theta)

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva em coordenadas polares
r^2=a^2cos(2theta)
Este é o famoso “lemniscato de Bernoulli”, que forma duas folhas (l = lobo). Para calcular cada área usaremos a fórmula de área em polares:
Área=tfrac12integraltheta1^theta2r^2,dtheta Á

Passo 2

Determinamos o intervalo de theta em que a curva está “aberta” (isto é, r^2>=0). Como r^2=a^2cos(2theta)>=0 se, e só se, cos(2theta)>=0. Isso ocorre em cada lobo quando
-,tfracpi4 <= theta <= tfracpi4
para o lobo “horizontal” direito, e de tfrac3pi4 a tfrac5pi4 para o lobo esquerdo. Vamos focar num lobo, digamos -tfracpi4<=theta<=tfracpi4.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de área para esse intervalo:
Árealobo =tfrac12integral-pi/4^pi/4r^2,dtheta =tfrac12integral-pi/4^pi/4a^2cos(2theta),dtheta =a^2,tfrac12integral-pi/4^pi/4cos(2theta),dtheta Á

Passo 4

Calculamos a integral:
integralcos(2theta),dtheta =tfrac12sin(2theta),
logo
Árealobo =a^2,tfrac12l[tfrac12sin(2theta)r]-pi/4^pi/4 =tfraca^24l[sin(tfracpi2)-sin(-tfracpi2)r] =tfraca^24(1-(-1)) =tfraca^22 Á

Passo 5

Cada lobo do lemniscato tem, portanto, área tfraca^22. Como há duas folhas, a área total da curva é a^2.

Resposta

A área de cada lobo é a^22 (e a área total do lemniscato é a^2).

Exercícios relacionados