Calcule a área da região interior a cada curva dada abaixo
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pela curva em coordenadas polares
Este é o famoso “lemniscato de Bernoulli”, que forma duas folhas (l
lobo). Para calcular cada área usaremos a fórmula de área em polares:
Passo 2
Determinamos o intervalo de
em que a curva está “aberta” (isto é,
). Como
se, e só se,
. Isso ocorre em cada lobo quando
para o lobo “horizontal” direito, e de
a
para o lobo esquerdo. Vamos focar num lobo, digamos
.
Passo 3
Aplicamos a fórmula de área para esse intervalo:
Passo 4
Calculamos a integral:
logo
Passo 5
Cada lobo do lemniscato tem, portanto, área
. Como há duas folhas, a área total da curva é
.
Resposta
A área de cada lobo é
(e a área total do lemniscato é
).