Calcule a área da região interior a cada curva dada abaixo
r=a(1+cos (2 theta))

Passo 1

O enunciado pede a área da região encerrada pela curva em coordenadas polares
r = al(1+cos(2theta)r)
O conteúdo envolvido é o cálculo de área em coordenadas polares usando a fórmula
A = tfrac12 integral r^2,dtheta

Passo 2

Para aplicar a fórmula, precisamos escolher os limites de integração que percorrem a curva inteira. Como r(theta) é 2pi-periódica e nunca negativa, basta integrar de theta=0 a theta=2pi.

Passo 3

Calculamos primeiro r^2. Usando a identidade
1+cos(2theta)=2cos^2theta
temos
r = a,(2cos^2theta)=2acos^2theta Longrightarrow r^2 = 4a^2cos^4theta

Passo 4

Substituindo na fórmula da área,
A = tfrac12 integral0^2pi 4a^2cos^4theta,dtheta = 2a^2 integral0^2pi cos^4theta,dtheta

Passo 5

Para integrar cos^4theta usamos a identidade de redução
cos^4theta = 3 + 4cos(2theta) + cos(4theta)8
Assim
integral0^2picos^4theta,dtheta = integral0^2pi3 + 4cos(2theta) + cos(4theta)8,dtheta = 38,2pi = 3pi4,
pois as integrais de cos(2theta) e cos(4theta) sobre um período são zero.

Passo 6

Substituindo esse resultado em A:
A = 2a^2 cdot 3pi4 = 3pi a^22

Resposta

A = 3pi a^22

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