Calcule o comprimento das seguintes curvas dadas na forma polar:
r=1-cos theta, 0 <= theta <= pi2

Passo 1

O enunciado nos dá a curva em coordenadas polares
r(theta)=1-costheta, 0<=theta<=pi2,
e pede o comprimento de arco. Em polares, usamos a fórmula
L=integralalpha^betaraizr(theta)^2+l(r'(theta)r)^2,dtheta

Passo 2

Calculamos a derivada de r em relação a theta:
r'(theta)=ddtheta(1-costheta)=sintheta
Substituindo na raiz, o integrando fica
raiz(1-costheta)^2+(sintheta)^2

Passo 3

Simplificamos o radicando usando sin^2theta+cos^2theta=1:
(1-costheta)^2+sin^2theta =1-2costheta+cos^2theta+sin^2theta =2-2costheta =2l(1-costhetar)
Logo,
raiz(1-costheta)^2+(sintheta)^2 =raiz2l(1-costhetar) =2sin!l(theta2r),
pois sin(theta/2)>=0 em [0,pi/2].

Passo 4

O comprimento é
L=integral0^pi/22sin!l(theta2r),dtheta
Fazendo u=theta/2, temos dtheta=2,du e os limites vão de u=0 a u=pi/4:
L=2integral0^pi/2sin!l(theta2r),dtheta =4integral0^pi/4sin(u),du =4l[-cos(u)r]0^pi/4 =4l(1-cos(tfracpi4)r) =4l(1-raiz22r)

Resposta

O comprimento da curva é
L=4-2raiz2

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