Resolva as equações diferenciais:
y^prime prime-4 y^prime-6 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada: y'' - 4y' - 6y = 0 . Esse tipo de equação faz parte da matéria de Equações Diferenciais Lineares de Ordem 2 com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos y'' por r^2 , y' por r e y por 1. Assim, a equação fica:
r^2 - 4r - 6 = 0

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r . Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1 , b = -4 e c = -6 .

Passo 4

Calculando o discriminante ( De<a ) primeiro:
De<a = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-6) = 16 + 24 = 40

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula de Bhaskara:
r = 4 pm raiz402
Simplificando a raiz quadrada:
raiz40 = raiz4 times 10 = 2raiz10
Então,
r = 4 pm 2raiz102 = 2 pm raiz10

Passo 6

Com os valores de r encontrados, a solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^(2 + raiz10)x + C2 e^(2 - raiz10)x
Onde C1 e C2 são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^(2 + raiz10)x + C2 e^(2 - raiz10)x

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