Calcule a área da região interior às duas curvas:
rho=32 e rho=3 sen theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que fica dentro das duas curvas dadas: rho = 32 e rho = 3 sin theta. Para isso, vamos usar conhecimentos de coordenadas polares e integrais para encontrar a área entre essas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada equação representa. A equação rho = 32 é um círculo com raio 32 centrado na origem. Já a equação rho = 3 sin theta também é um círculo, mas ele está posicionado de forma que o seu centro está em (0, 32) no sistema polar.

Passo 3

Para encontrar a área da região comum às duas curvas, precisamos saber onde elas se interceptam. Isso significa resolvermos 32 = 3 sin theta para encontrar os valores de theta que fazem as duas equações iguais.

Passo 4

Resolvendo 32 = 3 sin theta:
sin theta = 12
Sabemos que sin theta = 12 quando theta = pi6 e theta = 5pi6.

Passo 5

Agora, vamos calcular a área entre as curvas de theta = pi6 até theta = 5pi6. A fórmula para a área entre duas curvas em coordenadas polares é:
A = 12 integralalpha^beta ( rhoexterna^2 - rhointerna^2 ) dtheta
Aqui, rhoexterna é a curva maior e rhointerna é a curva menor dentro do intervalo de integração.

Passo 6

Identificando qual curva está externa e qual está interna no intervalo pi6 a 5pi6. Observando as equações:
  • Para rho = 3 sin theta, o valor máximo é 3 quando theta = pi2.
  • Para rho = 32, o valor é constante.
Assim, rho = 3 sin theta é a curva externa e rho = 32 é a interna nesse intervalo.

Passo 7

Substituindo na fórmula da área:
A = 12 integralpi6^5pi6 ( (3 sin theta)^2 - (32)^2 ) dtheta
Simplificando as potências:
A = 12 integralpi6^5pi6 ( 9 sin^2 theta - 94 ) dtheta

Passo 8

Vamos simplificar a integral dividindo em duas partes:
A = 12 ( 9 integralpi6^5pi6 sin^2 theta , dtheta - 94 integralpi6^5pi6 dtheta )

Passo 9

Calculando cada integral separadamente. Primeiro, a integral de sin^2 theta:
Sabemos que sin^2 theta = 1 - cos 2theta2, então:
integral sin^2 theta , dtheta = integral 1 - cos 2theta2 , dtheta = theta2 - sin 2theta4 + C
Agora, integrando de pi6 a 5pi6:
integralpi6^5pi6 sin^2 theta , dtheta = [ theta2 - sin 2theta4 ]pi6^5pi6 = ( 5pi12 - sin 5pi34 ) - ( pi12 - sin pi34 )
Calculando os valores de seno:
sin 5pi3 = -raiz32 e sin pi3 = raiz32
Substituindo:
( 5pi12 - (-raiz38) ) - ( pi12 - raiz38 ) = 5pi12 + raiz38 - pi12 + raiz38 = 4pi12 + 2raiz38 = pi3 + raiz34

Passo 10

Agora, calculando a segunda integral:
integralpi6^5pi6 dtheta = 5pi6 - pi6 = 4pi6 = 2pi3

Passo 11

Substituindo de volta na fórmula da área:
A = 12 ( 9 ( pi3 + raiz34 ) - 94 ( 2pi3 ) ) = 12 ( 3pi + 9raiz34 - 3pi2 )
Simplificando:
A = 12 ( 3pi2 + 9raiz34 ) = 3pi4 + 9raiz38

Resposta

A área da região interior às duas curvas é:
A = 3pi4 + 9raiz38 unidades de área á

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