Calcule a área da região interior às duas curvas:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que fica dentro das duas curvas dadas:
e
. Para isso, vamos usar conhecimentos de coordenadas polares e integrais para encontrar a área entre essas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada equação representa. A equação
é um círculo com raio
centrado na origem. Já a equação
também é um círculo, mas ele está posicionado de forma que o seu centro está em
no sistema polar.
Passo 3
Para encontrar a área da região comum às duas curvas, precisamos saber onde elas se interceptam. Isso significa resolvermos
para encontrar os valores de
que fazem as duas equações iguais.
Passo 4
Resolvendo
:
Sabemos que
quando
e
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a área entre as curvas de
até
. A fórmula para a área entre duas curvas em coordenadas polares é:
Aqui,
é a curva maior e
é a curva menor dentro do intervalo de integração.
Passo 6
Identificando qual curva está externa e qual está interna no intervalo
a
. Observando as equações:
- Para
, o valor máximo é quando . - Para
, o valor é constante.
Assim,
é a curva externa e
é a interna nesse intervalo.
Passo 7
Substituindo na fórmula da área:
Simplificando as potências:
Passo 8
Vamos simplificar a integral dividindo em duas partes:
Passo 9
Calculando cada integral separadamente. Primeiro, a integral de
:
Sabemos que
, então:
Agora, integrando de
a
:
Calculando os valores de seno:
Substituindo:
Passo 10
Agora, calculando a segunda integral:
Passo 11
Substituindo de volta na fórmula da área:
Simplificando:
Resposta
A área da região interior às duas curvas é: