Calcule a área da região limitada pela curva dada em coordendas polares; .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a área da região delimitada pela curva dada em coordenadas polares, que é . A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo, mais especificamente, cálculo em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar saber como calcular a área em coordenadas polares usando a fórmula apropriada.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área em coordenadas polares. A área de uma curva definida por entre os ângulos e é dada por:
Então, vamos usar essa fórmula para a nossa curva .
Passo 3
Antes de configurar a integral, precisamos determinar os limites de integração, ou seja, os valores de que fazem a curva completar uma volta completa sem repetir. Para , o gráfico é um cardioide, e geralmente os limites vão de a para cobrir toda a área.
Passo 4
Agora, vamos substituir na fórmula da área:
Vamos expandir o quadrado para facilitar a integração:
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 6
Integramos termo a termo:
integral0^2pi -12 cos theta , dtheta = -12 sin theta g|0^2pi = -12 (0 - 0) = 0
Para cos^2 theta , usamos a identidade trigonométrica cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 :