Calcule a área da região limitada pela curva dada em coordendas polares;
rho=3-2 cos theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a área da região delimitada pela curva dada em coordenadas polares, que é rho = 3 - 2 cos theta . A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo, mais especificamente, cálculo em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar saber como calcular a área em coordenadas polares usando a fórmula apropriada.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área em coordenadas polares. A área A de uma curva definida por rho = f(theta) entre os ângulos theta = alpha e theta = beta é dada por:
A = 12 integralalpha^beta rho^2 , dtheta
Então, vamos usar essa fórmula para a nossa curva rho = 3 - 2 cos theta .

Passo 3

Antes de configurar a integral, precisamos determinar os limites de integração, ou seja, os valores de theta que fazem a curva completar uma volta completa sem repetir. Para rho = 3 - 2 cos theta , o gráfico é um cardioide, e geralmente os limites vão de 0 a 2pi para cobrir toda a área.

Passo 4

Agora, vamos substituir rho = 3 - 2 cos theta na fórmula da área:
A = 12 integral0^2pi (3 - 2 cos theta)^2 , dtheta
Vamos expandir o quadrado para facilitar a integração:
(3 - 2 cos theta)^2 = 9 - 12 cos theta + 4 cos^2 theta

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
A = 12 integral0^2pi (9 - 12 cos theta + 4 cos^2 theta) , dtheta
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 6

Integramos termo a termo:
integral0^2pi 9 , dtheta = 9 theta g|0^2pi = 9 times 2pi = 18pi
integral0^2pi -12 cos theta , dtheta = -12 sin theta g|0^2pi = -12 (0 - 0) = 0
Para cos^2 theta , usamos a identidade trigonométrica cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 :
integral0^2pi 4 cos^2 theta , dtheta = 4 integral0^2pi 1 + cos 2theta2 , dtheta = 2 integral0^2pi (1 + cos 2theta) , dtheta
= 2 [ theta + sin 2theta2 ]0^2pi = 2 (2pi - 0) = 4pi

Passo 7

Somando todas as partes:
A = 12 (18pi + 0 + 4pi) = 12 times 22pi = 11pi

Resposta

A área da região limitada pela curva rho = 3 - 2 cos theta é 11pi unidades de área.

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