Verifique que o valor máximo de
, com a restrição
é 27 , com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o valor máximo da função
sujeita à condição
, onde
. Aqui, estamos lidando com otimização de funções multivariáveis, e vamos precisar usar técnicas de cálculo, como o método dos multiplicadores de Lagrange, para resolver.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que queremos maximizar
dado que a soma
é 9. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições.
Passo 3
Definimos a função de Lagrange:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange que vai nos ajudar a levar em conta a restrição.
Passo 4
Agora, calculamos as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a
,
,
e
e igualamos a zero:
Passo 5
Observando as primeiras três equações, vemos que:
Isso sugere que
, já que para essas igualdades manterem-se, as variáveis precisam ser iguais.
Passo 6
Se
, então da restrição
:
Portanto,
e
.
Passo 7
Agora, substituímos os valores encontrados na função original:
Resposta
O valor máximo de
sob a restrição
é 27.