Verifique que o valor máximo de f(x, y, z)=x y z, com a restrição x+y+z=9 é 27 , com x, y, z neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o valor máximo da função f(x, y, z) = xyz sujeita à condição x + y + z = 9 , onde x, y, z neq 0 . Aqui, estamos lidando com otimização de funções multivariáveis, e vamos precisar usar técnicas de cálculo, como o método dos multiplicadores de Lagrange, para resolver.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que queremos maximizar xyz dado que a soma x + y + z é 9. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições.

Passo 3

Definimos a função de Lagrange:
L(x, y, z, lambda) = xyz + lambda (9 - x - y - z)
Aqui, lambda é o multiplicador de Lagrange que vai nos ajudar a levar em conta a restrição.

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a x , y , z e lambda e igualamos a zero:
partial Lpartial x = yz - lambda = 0
partial Lpartial y = xz - lambda = 0
partial Lpartial z = xy - lambda = 0
partial Lpartial lambda = 9 - x - y - z = 0

Passo 5

Observando as primeiras três equações, vemos que:
yz = xz = xy = lambda
Isso sugere que x = y = z , já que para essas igualdades manterem-se, as variáveis precisam ser iguais.

Passo 6

Se x = y = z , então da restrição x + y + z = 9 :
3x = 9 implies x = 3
Portanto, y = 3 e z = 3 .

Passo 7

Agora, substituímos os valores encontrados na função original:
f(3, 3, 3) = 3 times 3 times 3 = 27

Resposta

O valor máximo de f(x, y, z) = xyz sob a restrição x + y + z = 9 é 27.

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