Usando diferencial calcular o aumento aproximado do volume de um cone circular reto, quando o raio da base varia de 5 cm para 5,1 cm e a altura varia de 30 cm para 30,5 cm. Dica: V(r, h)=13 pi r^2 h, eu que r é o raio da base e h a altura do cilindro e pi approx 3.141.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um cone circular reto cujo volume é dado por V(r, h) = 13 pi r^2 h , onde r é o raio da base e h é a altura. A questão quer que a gente calcule, usando diferenciais, o aumento aproximado do volume quando o raio aumenta de 5 cm para 5,1 cm e a altura de 30 cm para 30,5 cm. Então, vamos precisar usar cálculo diferencial para entender como pequenas variações em r e h afetam o volume V .

Passo 2

Vamos calcular a variação no volume usando diferenciais. A fórmula do diferencial de V em relação a r e h é:
dV = partial Vpartial r dr + partial Vpartial h dh
Aqui, partial Vpartial r é a derivada parcial de V em relação a r , e partial Vpartial h é a derivada parcial de V em relação a h .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Vpartial r = partialpartial r ( 13 pi r^2 h ) = 23 pi r h
partial Vpartial h = partialpartial h ( 13 pi r^2 h ) = 13 pi r^2

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores dados no problema. O raio inicial r = 5 cm, a altura inicial h = 30 cm, o aumento no raio dr = 0,1 cm e o aumento na altura dh = 0,5 cm.
Primeiro, calculamos partial Vpartial r e partial Vpartial h :
partial Vpartial r = 23 pi times 5 times 30 = 23 pi times 150 = 100pi
partial Vpartial h = 13 pi times 5^2 = 13 pi times 25 approx 8,333pi
Agora, aplicamos a fórmula do diferencial:
dV = 100pi times 0,1 + 8,333pi times 0,5 = 10pi + 4,1665pi = 14,1665pi

Passo 5

Para finalizar, vamos calcular o valor numérico aproximado. Sabendo que pi approx 3,141 :
dV approx 14,1665 times 3,141 approx 44,5 cm^3

Resposta

O aumento aproximado do volume do cone é de 44,5 cm³.

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