Usando diferencial calcular o aumento aproximado do volume de um cone circular reto, quando o raio da base varia de 5 cm para
e a altura varia de 30 cm para
. Dica:
, eu que
é o raio da base e
a altura do cilindro e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um cone circular reto cujo volume é dado por
, onde
é o raio da base e
é a altura. A questão quer que a gente calcule, usando diferenciais, o aumento aproximado do volume quando o raio aumenta de 5 cm para 5,1 cm e a altura de 30 cm para 30,5 cm. Então, vamos precisar usar cálculo diferencial para entender como pequenas variações em
e
afetam o volume
.
Passo 2
Vamos calcular a variação no volume usando diferenciais. A fórmula do diferencial de
em relação a
e
é:
Aqui,
é a derivada parcial de
em relação a
, e
é a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores dados no problema. O raio inicial
cm, a altura inicial
cm, o aumento no raio
cm e o aumento na altura
cm.
Primeiro, calculamos
e
:
Agora, aplicamos a fórmula do diferencial:
Passo 5
Para finalizar, vamos calcular o valor numérico aproximado. Sabendo que
:
Resposta
O aumento aproximado do volume do cone é de 44,5 cm³.