Determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico de f(x, y)=sen(x+y)cos (x-y) no ponto (pi2, pi2);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para encontrar a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função f(x, y) = sin(x+y)cos(x-y) no ponto (pi2, pi2).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais para encontrar as inclinações nas direções de x e y, e depois usar essas informações para montar a equação do plano tangente. Depois, com o plano tangente em mãos, vamos achar a reta normal, que é a reta perpendicular ao plano tangente no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função f no ponto (pi2, pi2). Substituindo x = pi2 e y = pi2 na função:
f(pi2, pi2) = sin(pi2 + pi2)cos(pi2 - pi2) = sin(pi)cos(0) = 01 = 0
Então, o valor de f no ponto dado é 0.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y. Vamos começar com a derivada parcial em relação a x:
fx(x, y) = partialpartial x( sin(x+y)cos(x-y) )
Para derivar isso, usamos a regra do quociente:
fx = cos(x+y) cdot cos(x-y) - sin(x+y) cdot (-sin(x-y))cos^2(x-y)
Simplificando:
fx = cos(x+y)cos(x-y) + sin(x+y)sin(x-y)cos^2(x-y)
Usando a identidade trigonométrica cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B, temos:
fx = cos[(x+y) - (x-y)]cos^2(x-y) = cos(2y)cos^2(x-y)
Agora, vamos avaliar fx no ponto (pi2, pi2):
fx(pi2, pi2) = cos(pi)cos^2(0) = -11 = -1

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para a derivada parcial em relação a y:
fy(x, y) = partialpartial y( sin(x+y)cos(x-y) )
Usando novamente a regra do quociente:
fy = cos(x+y)cos(x-y) - sin(x+y)cdot sin(x-y)cos^2(x-y)
Simplificando:
fy = cos(x+y)cos(x-y) - sin(x+y)sin(x-y)cos^2(x-y)
Usando a identidade trigonométrica cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B, temos:
fy = cos[(x+y) + (x-y)]cos^2(x-y) = cos(2x)cos^2(x-y)
Agora, avaliando fy no ponto (pi2, pi2):
fy(pi2, pi2) = cos(pi)cos^2(0) = -11 = -1

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em torno de um ponto (a, b) é:
z = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Substituindo os valores que já encontramos:
z = 0 + (-1)(x - pi2) + (-1)(y - pi2)
Simplificando:
z = -(x - pi2) - (y - pi2)
Ou seja:
z = -x - y + pi

Passo 6

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal ao plano tangente no ponto dado. A reta normal é perpendicular ao plano, e sua direção é dada pelo vetor normal ao plano. O vetor normal pode ser obtido a partir dos coeficientes de [x), e na equação do plano.
A equação do plano que encontramos foi , que pode ser reescrita como . Portanto, o vetor normal é .
A equação paramétrica da reta normal que passa pelo ponto é:
Onde (t] é o parâmetro.

Resposta

Então, a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) no ponto (pi2, pi2) é:
z = -x - y + pi
E a equação paramétrica da reta normal é:
x = pi2 + t y = pi2 + t z = t

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