Determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico de no ponto ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para encontrar a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais para encontrar as inclinações nas direções de e , e depois usar essas informações para montar a equação do plano tangente. Depois, com o plano tangente em mãos, vamos achar a reta normal, que é a reta perpendicular ao plano tangente no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto . Substituindo e na função:
Então, o valor de no ponto dado é 0.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Vamos começar com a derivada parcial em relação a :
Para derivar isso, usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica , temos:
Agora, vamos avaliar no ponto :
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para a derivada parcial em relação a :
Usando novamente a regra do quociente:
Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica , temos:
Agora, avaliando no ponto :
Passo 5
Com as derivadas parciais encontradas, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em torno de um ponto é:
Substituindo os valores que já encontramos:
Simplificando:
Ou seja:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal ao plano tangente no ponto dado. A reta normal é perpendicular ao plano, e sua direção é dada pelo vetor normal ao plano. O vetor normal pode ser obtido a partir dos coeficientes de [x), e na equação do plano.
A equação do plano que encontramos foi , que pode ser reescrita como . Portanto, o vetor normal é .
A equação paramétrica da reta normal que passa pelo ponto é:
Onde (t] é o parâmetro.
Resposta
Então, a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) no ponto (pi2, pi2) é: