Calcule a área da região interior às duas curvas:
rho=32 e rho=1+cos (theta)

Passo 1

O enunciado pede a área da região que está simultaneamente dentro de
  1. ρ = 3/2 (círculo de raio 3/2)
  2. ρ = 1 + cos θ (curva em coordenadas polares)
    Conteúdo: cálculo de área em coordenadas polares.
    O que vamos usar:
  • Fórmula da área em polares:
A=12integral r^2,dtheta
  • Encontrar ângulos de interseção das duas curvas
  • Separar a integral em partes, porque a “menor” curva muda conforme θ

Passo 2

Achar onde as curvas se cruzam:
32 ;=;1+costheta ;Longrightarrow; costheta=12 ;Longrightarrow; theta=pmpi3
Ou seja, os pontos de interseção ocorrem em θ=−π/3 e θ=+π/3.

Passo 3

Para saber qual curva “manda” em cada pedaço de θ, note:
  • Se |θ|≤π/3 então cos θ≥½ ⇒ 1+cos θ ≥3/2 ⇒ a menor é ρ=3/2.
  • Se θ fica fora desse intervalo (de π/3 até 2π−π/3=5π/3), então 1+cos θ ≤3/2 ⇒ a menor é ρ=1+cos θ.
    Logo a área total é
A =12integral-pi/3^pi/3l(tfrac32r)^2dtheta +12integralpi/3^5pi/3(1+costheta)^2,dtheta

Passo 4

Calcula a parte fixa (onde ρ=3/2):
12integral-pi/3^pi/3l(tfrac32r)^2dtheta =12cdot94cdotl(tfracpi3-(-tfracpi3)r) =98cdot2pi3 =3pi4

Passo 5

Calcula a parte variável (onde ρ=1+cos θ):
  1. Expande (1+costheta)^2=1+2costheta+cos^2theta.
  2. Usa identidade cos^2theta=1+cos2theta2.
    Então
integralpi/3^5pi/3(1+costheta)^2dtheta =integralpi/3^5pi/3!1,dtheta +2integralpi/3^5pi/3!costheta,dtheta +integralpi/3^5pi/3!1+cos2theta2,dtheta
Calculando cada parte:
  • integral1,dtheta=l[thetar]pi/3^5pi/3=4pi/3
  • 2integralcostheta,dtheta =2l[sinthetar]pi/3^5pi/3 =2l(-tfracraiz32-tfracraiz32r) =-2raiz3
  • integral1+cos2theta2,dtheta =12integral1,dtheta+12integralcos2theta,dtheta =12cdot4pi3+14l[sin2thetar]pi/3^5pi/3 =2pi/3-tfracraiz34.
    Somando:
integralpi/3^5pi/3(1+costheta)^2dtheta =4pi/3-2raiz3+l(2pi/3-tfracraiz34r) =2pi-9raiz34
Multiplicando por 1/2 dá
12integralpi/3^5pi/3(1+costheta)^2dtheta =pi-9raiz38

Passo 6

Agora some as duas partes:
A =3pi4+l(pi-9raiz38r) =7pi4-9raiz38 =14pi-9raiz38

Resposta

boxedA=14pi-9raiz38

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