Calcule a área da região interior às duas curvas:
e
Passo 1
O enunciado pede a área da região que está simultaneamente dentro de
- ρ = 3/2 (círculo de raio 3/2)
- ρ = 1 + cos θ (curva em coordenadas polares)
Conteúdo: cálculo de área em coordenadas polares.
O que vamos usar:
- Fórmula da área em polares:
- Encontrar ângulos de interseção das duas curvas
- Separar a integral em partes, porque a “menor” curva muda conforme θ
Passo 2
Achar onde as curvas se cruzam:
Ou seja, os pontos de interseção ocorrem em θ=−π/3 e θ=+π/3.
Passo 3
Para saber qual curva “manda” em cada pedaço de θ, note:
- Se |θ|≤π/3 então cos θ≥½ ⇒ 1+cos θ ≥3/2 ⇒ a menor é ρ=3/2.
- Se θ fica fora desse intervalo (de π/3 até 2π−π/3=5π/3), então 1+cos θ ≤3/2 ⇒ a menor é ρ=1+cos θ.
Logo a área total é
Passo 4
Calcula a parte fixa (onde ρ=3/2):
Passo 5
Calcula a parte variável (onde ρ=1+cos θ):
- Expande
. - Usa identidade
.
Então
Calculando cada parte:
-
-
-
.
Somando:
Multiplicando por 1/2 dá
Passo 6
Agora some as duas partes: