Calcule a área da região interior às duas curvas:
e
Passo 1
O enunciado pede a área da região que está simultaneamente dentro de
(um disco de raio
centrado na origem)
e dentro de
(um disco de raio
centrado em
).
Como são curvas em coordenadas polares, vamos usar o elemento de área
e integrar sobre e
, sempre escolhendo para cada
o menor dos dois raios.
e dentro de
Como são curvas em coordenadas polares, vamos usar o elemento de área
e integrar sobre
Passo 2
Encontramos os ângulos em que as duas curvas se cruzam resolvendo
Passo 3
Para
temos
, e a região só existe aí.
- Se
ou , então
, logo o limite em é . - Se
, então
, e o limite em é .
Assim dividimos a integral em três partes.
Passo 4
Escrevemos a área como
Fazendo a integral em
em cada trecho,
obtemos
Passo 5
Nas integrais de fora temos
.
Usando ,
Usando
Pela simetria,
Multiplicando por
, cada uma dá
Somando os dois trechos externos:
Passo 6
Na integral do meio,
e o ângulo varia de
a
, de comprimento
.
Logo
Logo
Passo 7
Somando tudo,