Calcule a área da região interior às duas curvas:
rho=32 e rho=3 sen(theta)

Passo 1

O enunciado pede a área da região que está simultaneamente dentro de
rho=tfrac32 (um disco de raio tfrac32 centrado na origem)
e dentro de
rho=3sintheta (um disco de raio tfrac32 centrado em (0,tfrac32)).
Como são curvas em coordenadas polares, vamos usar o elemento de área
dA = rho,drho,dtheta
e integrar sobre theta e rho, sempre escolhendo para cada theta o menor dos dois raios.

Passo 2

Encontramos os ângulos em que as duas curvas se cruzam resolvendo
32 = 3sintheta Longrightarrow sintheta = 12 Longrightarrow theta = pi6, 5pi6

Passo 3

Para thetain[0,pi] temos sintheta>=0, e a região só existe aí.
  • Se 0<=theta<=tfracpi6 ou tfrac5pi6<=theta<=pi, então
    3sintheta<= tfrac32, logo o limite em rho é 3sintheta.
  • Se tfracpi6<=theta<=tfrac5pi6, então
    3sintheta>=tfrac32, e o limite em rho é tfrac32.
Assim dividimos a integral em três partes.

Passo 4

Escrevemos a área como
A = integral0^pi6!integral0^3sinthetarho,drho,dtheta + integralpi6^5pi6!integral0^32rho,drho,dtheta + integral5pi6^pi!integral0^3sinthetarho,drho,dtheta
Fazendo a integral em rho em cada trecho,
integral0^Rrho,drho = 12,R^2,
obtemos
A = integral0^pi612(3sintheta)^2,dtheta + integralpi6^5pi612l(tfrac32r)^2,dtheta + integral5pi6^pi12(3sintheta)^2,dtheta

Passo 5

Nas integrais de fora temos tfrac12(3sintheta)^2=tfrac92sin^2theta.
Usando sin^2theta=tfrac1-cos2theta2,
integral0^pi6sin^2theta,dtheta = l[tfractheta2 - tfracsin2theta4r]0^pi6 = pi12 - raiz38
Pela simetria,
integral5pi6^pisin^2theta,dtheta = pi12 - raiz38
Multiplicando por tfrac92, cada uma dá
92l(pi12 - raiz38r) = 3pi8 - 9raiz316
Somando os dois trechos externos:
2l(3pi8 - 9raiz316r) = 3pi4 - 9raiz38

Passo 6

Na integral do meio,
12l(tfrac32r)^2 = 12cdot94 = 98,
e o ângulo varia de tfracpi6 a tfrac5pi6, de comprimento tfrac4pi6=tfrac2pi3.
Logo
integralpi6^5pi698,dtheta = 98cdot2pi3 = 3pi4

Passo 7

Somando tudo,
A = l(3pi4 - 9raiz38r) + 3pi4 = 3pi2 - 9raiz38

Resposta

A = 3pi2 ;-;9raiz38

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