determine os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma y=t^y para t>0.
t^2 y^prime prime-4 t y+4 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial de tipo Cauchy–Euler
t^2y''-4t,y'+4y=0, t>0,
e pede soluções da forma y=t^r. Para isso, vamos usar a técnica de substituição típica de equações de Euler: calcular y' e y'', substituir na EDO e obter uma equação algébrica em r.

Passo 2

Para y=t^r temos
y' = r,t^r-1
e
y'' = r(r-1),t^r-2.

Passo 3

Substituindo esses expressões na EDO, vem
t^2l[r(r-1)t^r-2r];-;4tl[r,t^r-1r];+;4,t^r=0
Cada termo se simplifica para potências de t:
r(r-1),t^r;-;4r,t^r;+;4,t^r=0

Passo 4

Como t^rneq0 para t>0, podemos dividir tudo por t^r e obter a equação característica
r(r-1)-4r+4=0

Passo 5

Desenvolvendo e fatorando:
r^2-r-4r+4=0 Longrightarrow r^2-5r+4=0 Longrightarrow (r-1)(r-4)=0
Logo as raízes são
r=1 ou r=4

Resposta

r=1 e r=4.

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