determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
para
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma equação diferencial de tipo Cauchy–Euler
e pede soluções da forma
. Para isso, vamos usar a técnica de substituição típica de equações de Euler: calcular
e
, substituir na EDO e obter uma equação algébrica em
.
Passo 2
Para
temos
e
.
e
Passo 3
Substituindo esses expressões na EDO, vem
Cada termo se simplifica para potências de
:
Passo 4
Como
para
, podemos dividir tudo por
e obter a equação característica
Passo 5
Desenvolvendo e fatorando:
Logo as raízes são