Determine o domínio de r(t) e o valor de r(t0).
r(t)=cos t i-3 t j ; t0=pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o domínio da função vetorial r(t) e calcular o valor de r(t0) quando t0 = pi.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o domínio de uma função e como substituir um valor específico na função para encontrar o vetor correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função vetorial r(t). O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis de t para os quais a função está definida.
Nossa função é:
r(t) = cos t , i - 3t , j
Vamos analisar cada componente:
  • cos t: A função cosseno está definida para todos os números reais ( t in R).
  • -3t: Essa é uma função linear, que também está definida para todos os números reais ( t in R).
Como ambas as partes da função vetorial estão definidas para qualquer valor real de t, o domínio de r(t) é todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor de r(t0) quando t0 = pi.
Substituímos t por pi na função vetorial:
r(pi) = cos pi , i - 3pi , j
Vamos calcular cada componente:
  • cos pi: Sabemos que cos pi = -1.
  • -3pi: Isso já está na forma final, não precisa de cálculo adicional.
Portanto:
r(pi) = (-1) , i - 3pi , j

Resposta

O domínio de r(t) é todos os números reais, ou seja, t in R. Além disso, quando t = pi, temos:
r(pi) = -,i - 3pi , j

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