Determine o domínio de
e o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o domínio da função vetorial
e calcular o valor de
quando
.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o domínio de uma função e como substituir um valor específico na função para encontrar o vetor correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função vetorial
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis de
para os quais a função está definida.
Nossa função é:
Vamos analisar cada componente:
-
: A função cosseno está definida para todos os números reais ( ). -
: Essa é uma função linear, que também está definida para todos os números reais ( ).
Como ambas as partes da função vetorial estão definidas para qualquer valor real de
, o domínio de
é todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor de
quando
.
Substituímos
por
na função vetorial:
Vamos calcular cada componente:
-
: Sabemos que . -
: Isso já está na forma final, não precisa de cálculo adicional.
Portanto:
Resposta
O domínio de
é todos os números reais, ou seja,
. Além disso, quando
, temos: