Calcule a área da região interior às duas curvas:
rho=32 e rho=1+cos (theta) (c) rho=3 cos (theta) e rho=3 sen(theta).

Passo 1

Estamos lidando com áreas em coordenadas polares. Em cada caso temos duas curvas da forma rho=f(theta) e queremos a região comum a ambas, isto é, os pontos que satisfazem simultaneamente rho<= f1(theta) e rho<= f2(theta). A área em coordenadas polares é dada por
A = 12integraltheta1^theta2 l[minf1(theta),f2(theta)r]^2,dtheta

Passo 2

Primeiro caso: rho=tfrac32 e rho=1+costheta. Igualamos
tfrac32 = 1+costheta Longrightarrow costheta = tfrac12 Longrightarrow theta = tfracpi3,; tfrac5pi3
Para thetain[0,tfracpi3)cup(tfrac5pi3,2pi] tem 1+costheta>tfrac32 e o limite é rho=tfrac32. Para thetain[tfracpi3,tfrac5pi3] tem 1+costheta<=tfrac32 e o limite é rho=1+costheta. Assim
A1 =12gl[ integral0^pi3!l(tfrac32r)^2dtheta +integralpi3^5pi3!(1+costheta)^2dtheta +integral5pi3^2pi!l(tfrac32r)^2dtheta gr]

Passo 3

Calculamos cada parte. As duas extremas somam ângulo 2pi/3, logo
12cdotl(tfrac32r)^2cdot2pi3 =12cdot94cdot2pi3 =3pi4
Para o trecho médio faça
integralpi3^5pi3(1+costheta)^2dtheta =integralpi3^5pi3l(tfrac32+2costheta+tfrac12cos2thetar)dtheta =2pi-,9raiz34,
portanto a metade disso é
12l(2pi - tfrac9raiz34r) =pi-9raiz38
Somando,
A1 = 3pi4 + l(pi-tfrac9raiz38r) =14pi8-9raiz38 =18l(14pi-9raiz3r)

Passo 4

Segundo caso: rho=3costheta e rho=3sintheta. Igualando
3costheta = 3sintheta Longrightarrow tantheta=1 Longrightarrow theta=pi4
No primeiro quadrante ambas são não negativas e a região comum está em thetain[0,tfracpi2]. Para 0<=theta<=tfracpi4 vale sintheta<=costheta e o limite é rho=3sintheta. Para tfracpi4<=theta<=tfracpi2 vale costheta<=sintheta e o limite é rho=3costheta. Logo
A2 =12gl[ integral0^pi4!(3sintheta)^2dtheta +integralpi4^pi2!(3costheta)^2dtheta gr]

Passo 5

Fatorando 9/2, temos
A2 = 92l[integral0^pi4sin^2theta,dtheta +integralpi4^pi2cos^2theta,dthetar]
Calcula-se
integral0^pi4sin^2theta,dtheta =pi8-14, integralpi4^pi2cos^2theta,dtheta =pi8-14,
somando dá pi/4-1/2, e então
A2 = 92l(pi4-12r) =9pi8-94 =98(pi-2)

Resposta

Primeiro caso (entre rho=tfrac32 e rho=1+costheta):
boxedA = 18l(14pi - 9raiz3r)
Segundo caso (entre rho=3costheta e rho=3sintheta):
boxedA = 98,(pi - 2)

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