Calcule a área da região interior às duas curvas:
e
e
.
Passo 1
Estamos lidando com áreas em coordenadas polares. Em cada caso temos duas curvas da forma
e queremos a região comum a ambas, isto é, os pontos que satisfazem simultaneamente
e
. A área em coordenadas polares é dada por
Passo 2
Primeiro caso:
e
. Igualamos
Para
tem
e o limite é
. Para
tem
e o limite é
. Assim
Passo 3
Calculamos cada parte. As duas extremas somam ângulo
, logo
Para o trecho médio faça
portanto a metade disso é
Somando,
Passo 4
Segundo caso:
e
. Igualando
No primeiro quadrante ambas são não negativas e a região comum está em
. Para
vale
e o limite é
. Para
vale
e o limite é
. Logo
Passo 5
Fatorando
, temos
Calcula-se
somando dá
, e então
Resposta
Primeiro caso (entre
e
):
Segundo caso (entre
e
):