3 y^prime-2 y=e^-pi / 2, y(0)=a

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
3y' - 2y = e^-pi/2,
com a condição inicial y(0)=a.
O conteúdo é resolução de EDO linear usando fator integrante.

Passo 2

Vamos colocar em forma padrão dividindo tudo por 3:
y' - 23y = 13e^-pi/2

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = expl(integral -tfrac23,dxr) = e^-2x/3

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x) e reconhecemos o lado esquerdo como derivada do produto:
ddxl(y,e^-2x/3r) = 13e^-pi/2,e^-2x/3
Integrando em x:
y,e^-2x/3 = 13e^-pi/2integral e^-2x/3dx + C = 13e^-pi/2l(-tfrac32e^-2x/3r)+C = -12e^-pi/2e^-2x/3+C

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral
y(x) = -tfrac12e^-pi/2 + C,e^2x/3

Passo 6

Usamos y(0)=a para achar C:
a = -tfrac12e^-pi/2 + C Longrightarrow C = a + tfrac12e^-pi/2

Resposta

y(x) = l(a + tfrac12e^-pi/2r)e^2x/3 ;-;tfrac12e^-pi/2

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