Obtenha a área da superfície obtida pela rotação em torno do eixo x da catenária y=cosh x, x in[-1,1]

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar em torno do eixo x a curva
;y=cosh x, xin[-1,1]
O conteúdo aqui é a área de superfície de revolução e vamos precisar da fórmula
;A=2piintegrala^by,raiz1+l(y'r)^2;dx

Passo 2

Começamos calculando a derivada de y e o fator da raiz:
;y=cosh xLongrightarrow y'=sinh x,
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;1+(y')^2=1+sinh^2x=cosh^2x
Substituindo na fórmula, a área fica
;A=2piintegral-1^1cosh x;raizcosh^2x;dx=2piintegral-1^1cosh^2x;dx

Passo 3

Para integrar cosh^2x usamos a identidade
;cosh^2x=1+cosh(2x)2
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integralcosh^2x;dx =integral1+cosh(2x)2;dx =x2+sinh(2x)4+C

Passo 4

Avaliamo-la de -1 a 1:
l[tfracx2+tfracsinh(2x)4r]-1^1 =l(tfrac12+tfracsinh(2)4r) -l(-tfrac12-tfracsinh(2)4r) =1+sinh(2)2
Multiplicando por 2pi obtemos
A=2pil(1+tfracsinh(2)2r) =2pi+pi,sinh(2)

Resposta

A=pil(2+sinh(2)r)

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