Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime-2 y=c^2, y(0)=2

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' - 2y = c^2, y(0)=2
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Encontramos o fator integrante mu(x) associado ao termo y. Como a equação está em forma padrão y' + p(x)y = q(x) com p(x)=-2, temos
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral -2,dx = e^-2x

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=e^-2x, obtendo
e^-2xy' - 2e^-2xy = c^2 e^-2x
O lado esquerdo é agora a derivada do produto y,e^-2x, isto é,
ddxl(y,e^-2xr) = c^2 e^-2x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
y,e^-2x = integral c^2 e^-2x,dx = c^2integral e^-2x,dx = c^2(-12 e^-2x) + K = -c^22e^-2x + K,
onde K é constante de integração. Multiplicando por e^2x,
y(x) = -c^22 + K,e^2x

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=2:
2 = y(0) = -c^22 + K,e^0 = -c^22 + K Longrightarrow K = 2 + c^22

Passo 6

Substituindo K em y(x), obtemos a solução geral ajustada ao valor inicial:
y(x) = -c^22 + l(2 + c^22r)e^2x

Resposta

y(x) = l(2 + tfracc^22r)e^2x ;-;c^22

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