Calcule a área da região interna à cardióide
e externa ao círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área que está dentro da cardióide definida por
e fora do círculo
. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e cálculo de áreas por integração. Precisamos entender onde essas duas curvas se interceptam e como configurar a integral para encontrar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a cardióide e o círculo se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo para
:
Os valores de
que satisfazem
são
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, vamos visualizar a região que queremos calcular. A cardióide está dentro do círculo quando
da cardióide é menor que 3. Então, para os valores de
entre
e
, a cardióide está dentro do círculo. Fora desses valores, está a inversa.
Passo 4
Para encontrar a área entre as duas curvas, usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
No nosso caso, entre
e
, a rodovia externa é o círculo (
) e a rodovia interna é a cardióide (
).
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Então:
Passo 6
Vamos resolver a integral termo a termo:
Para integrar
, usamos a identidade:
Então:
Portanto, a integral completa fica:
Simplificando:
Passo 7
Agora, avaliamos a integral entre
e
:
Calculando para
:
E para
:
Subtraindo:
Passo 8
Finalmente, multiplicamos pelo
que estava na frente da integral:
Resposta
A área da região interna à cardióide
e externa ao círculo
é
unidades de área.