Calcule a área da região interna à cardióide r=2+2 cos theta e externa ao círculo r=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área que está dentro da cardióide definida por r = 2 + 2 cos theta e fora do círculo r = 3 . Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e cálculo de áreas por integração. Precisamos entender onde essas duas curvas se interceptam e como configurar a integral para encontrar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a cardióide e o círculo se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:
2 + 2 cos theta = 3
Resolvendo para cos theta :
2 cos theta = 1 cos theta = 12
Os valores de theta que satisfazem cos theta = 12 são theta = pi3 e theta = 5pi3 .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, vamos visualizar a região que queremos calcular. A cardióide está dentro do círculo quando r da cardióide é menor que 3. Então, para os valores de theta entre pi3 e 5pi3 , a cardióide está dentro do círculo. Fora desses valores, está a inversa.

Passo 4

Para encontrar a área entre as duas curvas, usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
A = 12 integralalpha^beta ( rexterna^2 - rinterna^2 ) dtheta
No nosso caso, entre pi3 e 5pi3 , a rodovia externa é o círculo ( r = 3 ) e a rodovia interna é a cardióide ( r = 2 + 2 cos theta ).

Passo 5

Substituindo na fórmula:
A = 12 integralpi3^5pi3 ( 3^2 - (2 + 2 cos theta)^2 ) dtheta
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
(2 + 2 cos theta)^2 = 4 + 8 cos theta + 4 cos^2 theta
Então:
A = 12 integralpi3^5pi3 ( 9 - 4 - 8 cos theta - 4 cos^2 theta ) dtheta A = 12 integralpi3^5pi3 ( 5 - 8 cos theta - 4 cos^2 theta ) dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral termo a termo:
integral ( 5 - 8 cos theta - 4 cos^2 theta ) dtheta = 5theta - 8 sin theta - 4 integral cos^2 theta dtheta
Para integrar cos^2 theta , usamos a identidade:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Então:
integral cos^2 theta dtheta = 12 integral (1 + cos 2theta) dtheta = 12 ( theta + sin 2theta2 )
Portanto, a integral completa fica:
5theta - 8 sin theta - 4 ( 12 theta + sin 2theta4 ) = 5theta - 8 sin theta - 2theta - sin 2theta
Simplificando:
3theta - 8 sin theta - sin 2theta

Passo 7

Agora, avaliamos a integral entre pi3 e 5pi3 :
A = 12 [ 3theta - 8 sin theta - sin 2theta ]pi3^5pi3
Calculando para 5pi3 :
3 cdot 5pi3 - 8 sin ( 5pi3 ) - sin ( 10pi3 ) = 5pi - 8 ( -raiz32 ) - sin ( 4pi3 ) = 5pi + 4raiz3 - ( -raiz32 ) = 5pi + 9raiz32
E para pi3 :
3 cdot pi3 - 8 sin ( pi3 ) - sin ( 2pi3 ) = pi - 8 cdot raiz32 - raiz32 = pi - 4raiz3 - raiz32 = pi - 9raiz32
Subtraindo:
(5pi + 9raiz32) - (pi - 9raiz32) = 4pi + 9raiz3

Passo 8

Finalmente, multiplicamos pelo 12 que estava na frente da integral:
A = 12 (4pi + 9raiz3) = 2pi + 9raiz32

Resposta

A área da região interna à cardióide r = 2 + 2 cos theta e externa ao círculo r = 3 é 2pi + 9raiz32 unidades de área.

Exercícios relacionados