Resolva a equação não homogênea via variação de parâmetros:
y^prime prime+4 y^prime+4 y=x^-2 e^-2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação linear não homogênea de segunda ordem
y'' + 4y' + 4y = x^-2e^-2x
usando o método de variação de parâmetros. Aqui o conteúdo é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, e vamos precisar de (i) solução geral da homogênea e (ii) fórmula de variação de parâmetros com o Wronskiano.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da homogênea associada
y'' + 4y' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 + 4r + 4 = 0 ;Longrightarrow; (r + 2)^2 = 0,
logo há raiz dupla r = -2. Portanto duas soluções linearmente independentes são
y1(x) = e^-2x, y2(x) = x,e^-2x,
e a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1 e^-2x + C2 x e^-2x

Passo 3

Para variação de parâmetros precisamos do Wronskiano
W(x) = y1 & y2 y1' & y2' .
Calculando
y1' = -2e^-2x, y2' = (1 - 2x)e^-2x,
temos
W(x) = e^-2xcdot(1-2x)e^-2x ;- (-2e^-2x)cdot(xe^-2x) = (1-2x)e^-4x + 2x e^-4x = e^-4x

Passo 4

Na forma padrão y''+p,y'+q,y = g(x) temos g(x)=x^-2e^-2x. As fórmulas de variação de parâmetros dão
u1' = -g(x),y2W, u2' = g(x),y1W
Substituindo g, y1, y2 e W:
u1' = -x^-2e^-2xcdotl(xe^-2xr)e^-4x = -x^-1e^-4xe^-4x = -1x, u2' = x^-2e^-2xcdot e^-2xe^-4x = x^-2e^-4xe^-4x = x^-2

Passo 5

Integramos para obter u1 e u2:
u1(x) = integral -1x,dx = -ln|x|, u2(x) = integral x^-2,dx = -1x

Passo 6

A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 = l(-ln xr)e^-2x ;+;l(-1xr)l(xe^-2xr) = -e^-2xln x ;-; e^-2x

Passo 7

Por fim, a solução geral da equação não homogênea é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^-2x + C2 x e^-2x ;-; e^-2xln x ;-; e^-2x

Resposta

boxed y(x) = C1 e^-2x + C2 x e^-2x ;-; e^-2xln x ;-; e^-2x

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