Considere a EDO
(x-1) y^prime prime-x y^prime+y=0, x>1
Usando o método de redução de ordem, resolva a equação, dado que y1(x)=e^x é solução. Determine uma segunda solução da forma y2(x)=v(x) y1(x).
48. Verifique que y1=e^x é solução de x y^prime prime-(x+N) y^prime+N y=0 e encontre y2 para N=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de segunda ordem
(x-1),y'' - x,y' + y = 0, x>1,
e informa que já conhecemos uma solução y1(x)=e^x. O método de redução de ordem consiste em buscar uma segunda solução da forma
y2(x)=v(x),y1(x)=v(x),e^x
Vamos aplicar esse método para determinar y2.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de y2:
y2' = l(v'+vr)e^x, y2'' = l(v''+2v'+vr)e^x
Substituindo na equação original e fatorando e^xneq0, obtemos
(x-1)l(v''+2v'+vr) ;-; xl(v'+vr);+;v ;=;0
Ao expandir e simplificar os termos em v e v'', chega-se a
(x-1),v'' ;+;(x-2),v' ;=;0

Passo 3

Definimos w(x)=v'(x). A equação fica
(x-1),w' + (x-2),w = 0,
que é de primeira ordem. Escrevemos
w'w = -,x-2,x-1, = -1 + 1,x-1,,
e integramos:
ln|w| = -x + ln|x-1| + C ;;Longrightarrow;; w = C,(x-1),e^-x
Agora v(x)=integral w,dx = Cintegral (x-1)e^-xdx. Usando integração por partes ou tabelas,
integral (x-1)e^-xdx = -x e^-x + const

Passo 4

Escolhendo as constantes de modo a obter independência linear de y1 e y2, tomamos
v(x) = -x,e^-x Longrightarrow y2(x) = v(x),e^x = -x
Como qualquer múltiplo escalar de solução vale, podemos escolher
y2(x) = x
Assim a solução geral é
y(x) = C1,e^x + C2,x

Passo 5

Agora consideremos a EDO parâtrica
x,y'' - (x+N),y' + N,y = 0
Verifiquemos que y1(x)=e^x é solução. Como y1'=e^x e y1''=e^x, ao substituir:
x,e^x - (x+N),e^x + N,e^x = l(x - x - N + Nr)e^x = 0

Passo 6

Para N=1, repetimos a redução de ordem y2=v,e^x. O cálculo análogo leva à equação reduzida
x,v'' + (x-1),v' = 0,
isto é, para w=v':
w'w = -1 + 1x, w = C,x,e^-x, v = integral w,dx = - (x+1),e^-x + const
Logo
y2(x) = v(x),e^x = -(x+1),
e podemos tomar
y2(x) = x+1

Resposta

Para a EDO (x-1)y''-x,y'+y=0, uma segunda solução é
y2(x)=x
Para a equação x,y''-(x+N)y'+N,y=0 com N=1, a segunda solução é
y2(x)=x+1

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