Considere a EDO
Usando o método de redução de ordem, resolva a equação, dado que
é solução. Determine uma segunda solução da forma
.
48. Verifique que
é solução de
e encontre
para
.
48. Verifique que
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO de segunda ordem
e informa que já conhecemos uma solução
. O método de redução de ordem consiste em buscar uma segunda solução da forma
Vamos aplicar esse método para determinar
.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação original e fatorando
, obtemos
Ao expandir e simplificar os termos em
e
, chega-se a
Passo 3
Definimos
. A equação fica
que é de primeira ordem. Escrevemos
e integramos:
Agora
. Usando integração por partes ou tabelas,
Passo 4
Escolhendo as constantes de modo a obter independência linear de
e
, tomamos
Como qualquer múltiplo escalar de solução vale, podemos escolher
Assim a solução geral é
Passo 5
Agora consideremos a EDO parâtrica
Verifiquemos que
é solução. Como
e
, ao substituir:
Passo 6
Para
, repetimos a redução de ordem
. O cálculo análogo leva à equação reduzida
isto é, para
:
Logo
e podemos tomar
Resposta
Para a EDO
, uma segunda solução é
Para a equação
com
, a segunda solução é