Verifique que y1=e^x é solução de x y^prime prime-(x+N) y^prime+N y=0 e encontre y2 para N=1.
49. Considere a equação diferencial
x^2 y^prime prime+x y^prime-14 y=raizx, x>0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, verificar que y1=e^x satisfaz a equação homogênea
x,y''-(x+N),y'+N,y=0
e, para N=1, encontrar uma segunda solução y2 linearmente independente de y1. Em seguida, resolver a equação não homogênea de Euler
x^2y''+x,y'-tfrac14,y=raizx, x>0

Passo 2

Verificamos que y1=e^x é solução da homogênea para todo N. Temos
y1'=e^x, y1''=e^x,
então o lado esquerdo da equação é
x,e^x-(x+N),e^x+N,e^x =l(x-x-N+Nr)e^x=0
Logo, y1=e^x satisfaz a homogênea.

Passo 3

Para N=1, escrevemos a homogênea na forma padrão
y''+p(x)y'+q(x)y=0
dividindo por x:
y''-x+1x,y'+1x,y=0,
de onde
p(x)=-x+1x
A fórmula de redução de ordem dá
y2=y1integrale^-integral p(x),dxy1^2,dx
Calculamos
-integral p(x),dx=integralx+1x,dx =integrall(1+tfrac1xr),dx =x+ln x,
logo
e^-integral p,dx=e^x,x

Passo 4

Substituindo em y2:
y2 =e^xintegrale^xxl(e^xr)^2,dx =e^xintegral x,e^-x,dx
Fazendo integração por partes ou sabendo a primitiva,
integral x,e^-x,dx =-(x+1)e^-x+C
Desprezando constantes múltiplas de y1, obtemos
y2=e^xl[-(x+1)e^-xr]=-(x+1),
ou, up to constant factor,
boxedy2=x+1

Passo 5

Agora resolvemos
x^2y''+x,y'-tfrac14,y=raizx, x>0,
que é uma equação de Euler. Assumimos y=x^m para a homogênea e obtemos a equação indicial
m(m-1)+m-tfrac14=0 ;Longrightarrow; m^2-tfrac14=0 ;Longrightarrow; m=pmtfrac12
Portanto a solução geral da homogênea é
yh=C1,x^1/2+C2,x^-1/2

Passo 6

Como o termo forçante raizx=x^1/2 coincide com uma solução homogênea, usamos o ansatz
yp=A,x^1/2ln x
Calculamos
yp'=A,x^-1/2l(1+tfrac12ln xr), yp''=-tfrac14,A,x^-3/2ln x,
e substituímos em
;x^2y''+x,y'-tfrac14,y. Após simplificar, encontra-se
x^2yp''+x,yp'-tfrac14,yp =A,x^1/2
Para igualar a raizx, basta A=1. Assim
boxedyp=x^1/2ln x

Passo 7

A solução geral da não homogênea é
boxedy(x)=C1,x^1/2+C2,x^-1/2+x^1/2ln x

Resposta

Para x,y''-(x+N),y'+N,y=0 com N=1 achamos
boxedy2=x+1
Para
x^2y''+x,y'-tfrac14,y=raizx, x>0,
a solução geral é
boxedy(x)=C1,x^1/2+C2,x^-1/2+x^1/2ln x

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