Verifique que
é solução de
e encontre
para
.
49. Considere a equação diferencial
49. Considere a equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro, verificar que
satisfaz a equação homogênea
e, para
, encontrar uma segunda solução
linearmente independente de
. Em seguida, resolver a equação não homogênea de Euler
Passo 2
Verificamos que
é solução da homogênea para todo
. Temos
então o lado esquerdo da equação é
Logo,
satisfaz a homogênea.
Passo 3
Para
, escrevemos a homogênea na forma padrão
dividindo por
:
de onde
A fórmula de redução de ordem dá
Calculamos
logo
Passo 4
Substituindo em
:
Fazendo integração por partes ou sabendo a primitiva,
Desprezando constantes múltiplas de
, obtemos
ou, up to constant factor,
Passo 5
Agora resolvemos
que é uma equação de Euler. Assumimos
para a homogênea e obtemos a equação indicial
Portanto a solução geral da homogênea é
Passo 6
Como o termo forçante
coincide com uma solução homogênea, usamos o ansatz
Calculamos
e substituímos em
. Após simplificar, encontra-se
Para igualar a
, basta
. Assim
Passo 7
A solução geral da não homogênea é
Resposta
Para
com
achamos
Para
a solução geral é