Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial:
y^prime prime+9 y=4cos 3 x

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
y'' + 9y = 4cos3x,
que é linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método de variação de parâmetros para obter uma solução particular, somada à solução da homogênea.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 9y = 0
A equação característica é
r^2 + 9 = 0,
cuja raízes são r = pm 3i. Logo as soluções fundamentais são
y1 = cos3x, y2 = sin3x,
e a solução geral da homogênea é
yh = C1 cos3x + C2 sin3x

Passo 3

Pelo método de variação de parâmetros, precisamos do Wronskiano das soluções fundamentais:
W(y1,y2) = cos3x & sin3x -3sin3x & 3cos3x =3
Definimos
u1' = -y2,g(x)W e u2' = y1,g(x)W,
onde g(x)=tfrac4cos3x. Calculamos
u1' = -sin3xcdot4cos3x3 = -43tan3x, u2' = cos3xcdot4cos3x3 = 43

Passo 4

Integramos para obter u1 e u2:
u1(x) = integral -43tan3x,dx = 49ln!l|cos3xr|,
u2(x) = integral 43,dx = 4x3

Passo 5

A solução particular é dada por
yp = u1,y1 + u2,y2 = 49cos3x,ln!l|cos3xr| + 4x3sin3x

Resposta

y(x) = C1 cos3x + C2 sin3x + 49cos3x,ln!l|cos3xr| + 4x3sin3x

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