Calcule a área da região limitada por x^2+y^2=25, y=x e y=2 x.

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a área da região que fica dentro do círculo definido por x^2 + y^2 = 25 e entre as retas y = x e y = 2x. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente de integração para encontrar áreas limitadas por curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas envolvidas:
  • Círculo: A equação x^2 + y^2 = 25 representa um círculo com raio 5 e centrado na origem (0,0).
  • Retas: As equações y = x e y = 2x são duas retas que passam pela origem, formando um ângulo entre elas.
Precisamos encontrar onde essas retas intersectam o círculo para saber os limites de integração.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre as retas e o círculo.
Para y = x:
Substituindo y por x na equação do círculo:
x^2 + x^2 = 25 Rightarrow 2x^2 = 25 Rightarrow x^2 = 252 Rightarrow x = pm 5raiz22
Portanto, os pontos de interseção são (5raiz22, 5raiz22) e (-5raiz22, -5raiz22).
Para y = 2x:
Substituindo y por 2x na equação do círculo:
x^2 + (2x)^2 = 25 Rightarrow x^2 + 4x^2 = 25 Rightarrow 5x^2 = 25 Rightarrow x^2 = 5 Rightarrow x = pm raiz5
Os pontos de interseção são (raiz5, 2raiz5) e (- raiz5, -2raiz5).

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. Como o círculo e as retas são simétricos em relação à origem, podemos calcular a área na primeira metade e depois multiplicar por 2.
Vamos integrar da reta y = x para a reta y = 2x dentro do círculo.

Passo 5

Para configurar a integral, expressamos y em termos de x e consideramos o intervalo de x onde as duas retas estão dentro do círculo.
Sabemos que x varia de raiz5 até 5raiz22.
A área pode ser calculada pela diferença das funções no limite do círculo:
A = 2 integralraiz5^5raiz22 ( raiz25 - x^2 - 2x ) dx - integralraiz5^5raiz22 ( raiz25 - x^2 - x ) dx
Simplificando, a área total é:
A = 2 integralraiz5^5raiz22 (xsuperior - xinferior) dx

Passo 6

Calculando a integral:
A = 2 integralraiz5^5raiz22 (raiz25 - x^2 - 2x - (raiz25 - x^2 - x)) dx
Simplificando dentro da integral:
A = 2 integralraiz5^5raiz22 (-x) dx
Integrando:
A = 2 [ -x^22 ]raiz5^5raiz22 = 2 ( -(5raiz22)^22 + (raiz5)^22 )
Calculando os valores:
A = 2 ( -25 times 28 + 52 ) = 2 ( -508 + 208 ) = 2 ( -308 ) = -608 = -7.5
Como área não pode ser negativa, o valor é 7.5 unidades quadradas.

Resposta

A área da região limitada pelas curvas dadas é 7,5 unidades quadradas.

Exercícios relacionados