Calcule a área da região limitada por
,
e
.
Passo 1
Beleza! A gente vai calcular a área da região que fica dentro do círculo definido por
e entre as retas
e
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente de integração para encontrar áreas limitadas por curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas envolvidas:
- Círculo: A equação
representa um círculo com raio 5 e centrado na origem (0,0). - Retas: As equações
e são duas retas que passam pela origem, formando um ângulo entre elas.
Precisamos encontrar onde essas retas intersectam o círculo para saber os limites de integração.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre as retas e o círculo.
Para
:
Substituindo
por
na equação do círculo:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Para
:
Substituindo
por
na equação do círculo:
Os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. Como o círculo e as retas são simétricos em relação à origem, podemos calcular a área na primeira metade e depois multiplicar por 2.
Vamos integrar da reta
para a reta
dentro do círculo.
Passo 5
Para configurar a integral, expressamos
em termos de
e consideramos o intervalo de
onde as duas retas estão dentro do círculo.
Sabemos que
varia de
até
.
A área pode ser calculada pela diferença das funções no limite do círculo:
Simplificando, a área total é:
Passo 6
Calculando a integral:
Simplificando dentro da integral:
Integrando:
Calculando os valores:
Como área não pode ser negativa, o valor é 7.5 unidades quadradas.
Resposta
A área da região limitada pelas curvas dadas é 7,5 unidades quadradas.