Verifique se a função abaixo possui ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
f(x, y)=x^2+4 x y-y^2-8 x-6 y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função de duas variáveis
f(x,y)=x^2+4xy-y^2-8x-6y
possui ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos usar cálculo de pontos críticos (gradiente nulo) e classificação pela matriz Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais, igualamos a zero e resolvemos o sistema:
partial fpartial x=2x+4y-8, partial fpartial y=4x-2y-6
Logo, o sistema é
2x+4y-8=0, 4x-2y-6=0
Da primeira equação x=4-2y. Substituindo na segunda:
4(4-2y)-2y-6=0 ;Rightarrow; 16-8y-2y-6=0 ;Rightarrow; 10y=10 ;Rightarrow; y=1,
e x=4-2cdot1=2. Assim há um único ponto crítico em (2,1).

Passo 3

Montamos a matriz Hessiana cujos elementos são as segundas derivadas:
Hf(x,y)= partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial xpartial y partial^2 fpartial ypartial x & partial^2 fpartial y^2 = 2 & 4 4 & -2
Calculamos os principais menores:
D1=2>0, D2=det Hf=2cdot(-2)-4cdot4=-20<0
Como D2<0, a Hessiana é indefinida e o ponto (2,1) é um ponto de sela.

Resposta

A função tem um único ponto crítico em (2,1), que é ponto de sela.

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