Seja sequência xn dada por xn=ln (n+1n)
Mostre que sum xn diverge;

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência xn com
xn = ln!l(tfracn+1nr)
e pede para mostrar que a série infinita
sumn=1^infty xn
diverge.
Conteúdo: séries infinitas, critério de divergência e, em particular, série telescópica usando propriedades de logaritmos.

Passo 2

Escrevemos o n-ésimo termo usando a propriedade do logaritmo de quociente:
xn = ln!l(tfracn+1nr) = ln(n+1) - ln(n)

Passo 3

Definimos a soma parcial SN como
SN = sumn=1^N xn = sumn=1^N l[ln(n+1) - ln(n)r]

Passo 4

Observamos que a soma é telescópica:
SN = (ln 2 - ln 1) + (ln 3 - ln 2) + cdots + (ln(N+1) - ln N)
Quase todos os termos se cancelam, sobrando
SN = ln(N+1) - ln(1) = ln(N+1)

Passo 5

Como ln(N+1)toinfty quando Ntoinfty, concluímos que
limNtoinfty SN = infty,
ou seja, a série não converge para um número finito.

Resposta

A série sumn=1^inftyln!l(tfracn+1nr) diverge porque sua soma parcial cresce como ln(N+1)toinfty.

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