Seja sequência xn dada por xn=ln (n+1n)
Mostre que sum(-1)^n+1 xn converge;

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+1xn,
onde
xn=ln!gl(n+1ngr)
O conteúdo principal é o Critério de Leibniz (séries alternadas): se xn é positiva, monotona decrescente e com limntoinftyxn=0, então sum(-1)^n+1xn converge.

Passo 2

Mostramos que xn>0 e que xnto0.
Para todo n>=1,
n+1n>1 Longrightarrow xn=ln!gl(n+1ngr)>0
Além disso,
limntoinftyxn =limntoinftyln!l(1+1nr) =ln(1)=0

Passo 3

Mostramos que xn é decrescente, isto é, xn+1<= xn.
Como a função
f(x)=ln!l(1+1xr)
tem derivada
f'(x) =11+1xcdotl(-1x^2r) =-1x(x+1)<0 para x>0,
segue que f é decrescente em [1,infty). Logo
xn+1=f(n+1)<= f(n)=xn

Passo 4

Pelos passos anteriores, xn satisfaz as hipóteses do Critério de Leibniz (positiva, decrescente e tende a zero). Portanto a série
sumn=1^infty(-1)^n+1xn
converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n+1ln!l(tfracn+1nr) converge.

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