Seja sequência
dada por
Mostre que
converge;
Mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá a série alternada
onde
O conteúdo principal é o Critério de Leibniz (séries alternadas): se
é positiva, monotona decrescente e com
, então
converge.
Passo 2
Mostramos que
e que
.
Para todo ,
Para todo
Além disso,
Passo 3
Mostramos que
é decrescente, isto é,
.
Como a função
Como a função
tem derivada
segue que
é decrescente em
. Logo
Passo 4
Pelos passos anteriores,
satisfaz as hipóteses do Critério de Leibniz (positiva, decrescente e tende a zero). Portanto a série
converge.
Resposta
A série
converge.