Verifique se a função abaixo possui ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
f(x, y)=x^3+y^2-3 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos e classificarmos os pontos críticos da função
f(x,y)=x^3+y^2-3x
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais para achar os pontos críticos (onde o gradiente se anula) e uso da matriz Hessiana para classificar cada ponto como máximo, mínimo ou sela.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=3x^2-3, partial fpartial y=2y
Para achar os pontos críticos, igualamos ambas a zero:
3x^2-3=0 Longrightarrow x^2=1 Longrightarrow x=pm1,
2y=0 Longrightarrow y=0
Logo, os pontos críticos são (1,0) e (-1,0).

Passo 3

Formamos a matriz Hessiana de f, que reúne as segundas derivadas:
H(x,y) = fxx & fxy fyx & fyy = 6x & 0 0 & 2

Passo 4

Analisamos H em (1,0). Temos
H(1,0) = 6cdot1 & 0 0 & 2 = 6 & 0 0 & 2
Os autovalores são 6>0 e 2>0, ou seja, a Hessiana é definida positiva em (1,0). Logo, f tem mínimo local em (1,0).

Passo 5

Analisamos H em (-1,0). Temos
H(-1,0) = 6cdot(-1) & 0 0 & 2 = -6 & 0 0 & 2
Aqui os autovalores são -6 e 2, de sinais opostos, o que torna a Hessiana indefinida. Portanto, (-1,0) é um ponto de sela.

Resposta

Em (1,0) há um mínimo local.
Em (-1,0) há um ponto de sela.
Não existem pontos de máximo local.

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