Verifique se a função abaixo possui ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos e classificarmos os pontos críticos da função
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais para achar os pontos críticos (onde o gradiente se anula) e uso da matriz Hessiana para classificar cada ponto como máximo, mínimo ou sela.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de :
Para achar os pontos críticos, igualamos ambas a zero:
Logo, os pontos críticos são e .
Passo 3
Formamos a matriz Hessiana de , que reúne as segundas derivadas:
Passo 4
Analisamos H em (1,0). Temos
H(1,0) = 6cdot1 & 0 0 & 2 = 6 & 0 0 & 2
Os autovalores são 6>0 e 2>0, ou seja, a Hessiana é definida positiva em (1,0). Logo, f tem mínimo local em (1,0).
Passo 5
Analisamos H em (-1,0). Temos
H(-1,0) = 6cdot(-1) & 0 0 & 2 = -6 & 0 0 & 2
Aqui os autovalores são -6 e 2, de sinais opostos, o que torna a Hessiana indefinida. Portanto, (-1,0) é um ponto de sela.
Resposta
Em (1,0) há um mínimo local.
Em (-1,0) há um ponto de sela.
Não existem pontos de máximo local.