Seja
. Calcule que as derivadas parciais de
ordem de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função $ f(x, y) = y e^{2x} + x e^{2y} $. Isso faz parte do assunto de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Vamos precisar lembrar como derivar funções envolvendo expoentes e produtos de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, $ f_x $ e $ f_y $. A derivada parcial $ f_x $ é a derivada de $ f $ em relação a $ x $, tratando $ y $ como uma constante.
Derivando em relação a $ x $:
Sabemos que $ \frac{d}{dx}(e^{2x}) = 2e^{2x} $ e $ \frac{d}{dx}(x) = 1 $, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial $ f_y $, que é a derivada de $ f $ em relação a $ y $, tratando $ x $ como constante.
Derivando em relação a $ y $:
Sabemos que $ \frac{d}{dy}(y) = 1 $ e $ \frac{d}{dy}(e^{2y}) = 2e^{2y} $, então:
Passo 4
Agora que temos $ f_x $ e $ f_y $, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, vamos encontrar $ f_{xx} $, que é a derivada de $ f_x $ em relação a $ x $.
Derivando em relação a $ x $:
Como $ y $ é constante em relação a $ x $, temos:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular $ f_{xy} $, que é a derivada de $ f_x $ em relação a $ y $.
Derivando em relação a $ y $:
Como $ e^{2x} $ é constante em relação a $ y $:
Passo 6
Agora, vamos calcular $ f_{yx} $, que é a derivada de $ f_y $ em relação a $ x $. Por propriedades das derivadas parciais, sabemos que $ f_{xy} = f_{yx} $, mas vamos calcular para confirmar.
Derivando em relação a $ x $:
Confirmando que $ f_{xy} = f_{yx} = 2e^{2x} + 2e^{2y} $
Passo 7
Por último, vamos calcular $ f_{yy} $, a derivada de $ f_y $ em relação a $ y $.
Derivando em relação a $ y $:
Como $ e^{2x} $ é constante em relação a $ y $:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função $ f(x, y) = y e^{2x} + x e^{2y} $ são: