Seja f(x, y)=y e^2 x+x e^2 y. Calcule que as derivadas parciais de 2^ a ordem de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função $ f(x, y) = y e^{2x} + x e^{2y} $. Isso faz parte do assunto de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Vamos precisar lembrar como derivar funções envolvendo expoentes e produtos de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, $ f_x $ e $ f_y $. A derivada parcial $ f_x $ é a derivada de $ f $ em relação a $ x $, tratando $ y $ como uma constante.
fx
Derivando em relação a $ x $:
fy
Sabemos que $ \frac{d}{dx}(e^{2x}) = 2e^{2x} $ e $ \frac{d}{dx}(x) = 1 $, então:
fx
f

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial $ f_y $, que é a derivada de $ f $ em relação a $ y $, tratando $ x $ como constante.
fy
Derivando em relação a $ y $:
f
Sabemos que $ \frac{d}{dy}(y) = 1 $ e $ \frac{d}{dy}(e^{2y}) = 2e^{2y} $, então:
y
x

Passo 4

Agora que temos $ f_x $ e $ f_y $, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, vamos encontrar $ f_{xx} $, que é a derivada de $ f_x $ em relação a $ x $.
fx
Derivando em relação a $ x $:
fy
Como $ y $ é constante em relação a $ x $, temos:
fxx
fx

Passo 5

Em seguida, vamos calcular $ f_{xy} $, que é a derivada de $ f_x $ em relação a $ y $.
fxy
Derivando em relação a $ y $:
fx
Como $ e^{2x} $ é constante em relação a $ y $:
y

Passo 6

Agora, vamos calcular $ f_{yx} $, que é a derivada de $ f_y $ em relação a $ x $. Por propriedades das derivadas parciais, sabemos que $ f_{xy} = f_{yx} $, mas vamos calcular para confirmar.
fyx
Derivando em relação a $ x $:
fy
x
Confirmando que $ f_{xy} = f_{yx} = 2e^{2x} + 2e^{2y} $

Passo 7

Por último, vamos calcular $ f_{yy} $, a derivada de $ f_y $ em relação a $ y $.
fyy
Derivando em relação a $ y $:
fy
Como $ e^{2x} $ é constante em relação a $ y $:
y
fy = e^2x + 2x e^2y

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função $ f(x, y) = y e^{2x} + x e^{2y} $ são:
f(x, y) = y e^2x + x e^2y
fxx = 4y e^2x
fxy = fyx = 2e^2x + 2e^2y

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