Calcule a área da região limitada pela curva dada em coordendas polares;
rho=4(1+sen(theta))

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva em coordenadas polares
rho = 4l(1+sen(theta)r)
O conteúdo usado será a fórmula de área em coordenadas polares:
A = 12 integraltheta1^theta2 rho^2 ,dtheta

Passo 2

Como a curva rho=4(1+sentheta) descreve uma volta completa quando theta varia de 0 a 2pi, o intervalo de integração é
0 <= theta <= 2pi

Passo 3

Aplicando a fórmula de área em coordenadas polares, temos
A = 12 integral0^2pi l[4(1+sentheta)r]^2 dtheta

Passo 4

Primeiro elevamos ao quadrado e fatoramos constantes:
A = 12 integral0^2pi 16,(1+sentheta)^2 dtheta = 8 integral0^2pi l(1 + 2sentheta + sen^2thetar) dtheta

Passo 5

Calculemos as integrais separadamente:
integral0^2pi 1 ,dtheta = 2pi, integral0^2pi sentheta ,dtheta = 0, integral0^2pi sen^2theta ,dtheta = pi
(A última vem da identidade sen^2theta = tfrac12(1-cos2theta).)

Passo 6

Substituindo esses resultados em A = 8l(2pi + 2cdot0 + pir), obtemos
A = 8,(3pi) = 24pi

Resposta

A área da região é 24pi.

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