Determine as derivadas parciais.
f(x, y)=5 x^4 y^2+x y^3+4.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de f(x, y) = 5 x^4 y^2 + x y^3 + 4. Esse assunto faz parte do cálculo em várias variáveis e para resolver vamos usar a definição de derivada parcial (tratando uma variável como constante), além das regras da soma, do poder e do produto.

Passo 2

Para achar partial fpartial x, derivamos cada termo de f em relação a x, considerando y como constante. Aplicando as regras: derivada de 5 x^4 y^2 é 5 y^2 cdot 4 x^3 = 20 x^3 cdot y^2; derivada de x y^3 é y^3; derivada de 4 é 0. Logo, fx(x,y) = 20 x^3 cdot y^2 + y^3.

Passo 3

Agora, para partial fpartial y, derivamos cada termo de f em relação a y, tratando x como constante. Derivada de 5 x^4 y^2 é 5 x^4 cdot 2 y = 10 x^4 cdot y; derivada de x y^3 é x cdot 3 y^2 = 3 x cdot y^2; derivada de 4 é 0. Assim, fy(x,y) = 10 x^4 cdot y + 3 x cdot y^2.

Resposta

As derivadas parciais são: fx(x,y) = 20 x^3 cdot y^2 + y^3 e fy(x,y) = 10 x^4 cdot y + 3 x cdot y^2.

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