Calcule a área da região limitada pela curva dada em coordendas polares;
rho=3-2 cos (theta)

Passo 1

O enunciado pede a área da região delimitada pela curva em polares rho=3-2cos(theta). Em coordenadas polares, a área é dada por
A = 12integraltheta1^theta2 rho^2 , dtheta
e como essa curva completa uma volta inteira ao variar theta de 0 a 2pi, esses serão nossos limites de integração.

Passo 2

Substituindo rho na fórmula de área, obtemos
A = 12 integral0^2pi l[3-2cos(theta)r]^2 , dtheta

Passo 3

Para facilitar a integração, expandimos o quadrado:
[3-2cos(theta)]^2 = 9 -12cos(theta) +4cos^2(theta)
Em seguida usamos a identidade trigonométrica
cos^2(theta)=1+cos(2theta)2

Passo 4

Substituindo cos^2(theta) na expressão e somando termos semelhantes, o integrando fica
9 -12cos(theta) +4cdot1+cos(2theta)2 =9 -12cos(theta) +2 +2cos(2theta) =11 -12cos(theta) +2cos(2theta)

Passo 5

Agora avaliamos cada integral separadamente:
integral0^2pi11,dtheta =22pi, integral0^2picos(theta),dtheta =0, integral0^2picos(2theta),dtheta =0
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A = 12l(22pi -12cdot0 +2cdot0r) = 22pi2 =11pi

Resposta

11pi

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