1. y^prime=-41 / y y(0)=y0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y'=-41y
com condição inicial y(0)=y0.
Este é um caso típico de equação separável, então vamos separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Escrevemos
dydx = -41y
e separamos os termos de y de um lado e os de x do outro:
y,dy = -41,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral y,dy = integral -41,dx
Isso dá, em forma implícita,
y^22 = -41,x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=y0. Substituindo x=0 e y=y0 em y^22 = -41x + C, obtém-se
y0^22 = C
Logo a solução implícita fica
y^22 = -41,x + y0^22

Passo 5

Multiplicando tudo por 2 e isolando y^2, temos
y^2 = y0^2 - 82,x
Dessa forma a solução explícita geral é
y(x) = pm raiz,y0^2 - 82,x,

Passo 6

Para obedecer a condição y(0)=y0, devemos escolher o sinal conforme o sinal de y0. Em particular, se y0>0, então
y(x) = raiz,y0^2 - 82,x,,
enquanto se y0<0, tomamos o sinal negativo.

Resposta

y(x) = pm raiz,y0^2 - 82,x,,
com escolha do sinal tal que y(0)=y0.

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