Uma pessoa recém-graduada obteve um empréstimo de RS 100.000 a uma taxa de 9 % ao ano para comprar um apartamento. Antecipando aumentos regulares de salário, o comprador espera efetuar pagamentos a uma taxa mensal de 800(1+ (1120), onde té o número de meses desde que o empréstimo foi feito.
(a) Supondo que essa programação de pagamentos possa ser mantida, quando o empréstimo estará liquidado? (b) Supondo o mesmo programa de pagamento, qual o empréstimo máximo que pode ser liquidado em exatamente 20 anos?

Passo 1

O enunciado trata de um empréstimo de L (parte (a): L=100,000) com taxa nominal de 9% ao ano capitalizada mensalmente, isto é, taxa efetiva mensal
i = (1,09)^1/12 - 1
Os pagamentos ocorrem mensalmente e crescem geometricamente segundo
Pt = 800l(1 + gr)^t,
onde g = tfrac1120 e t é o número de meses desde a contratação. Para amortizar o empréstimo, igualamos o valor presente dos pagamentos ao valor do empréstimo, usando que o fator de desconto mensal é v = (1+i)^-1.

Passo 2

Calcular a taxa efetiva mensal i e a razão combinada
i = (1,09)^1/12-1, g = 1120, r = 1+g1+i

Passo 3

O valor presente dos pagamentos até N meses é
sumt=1^N800(1+g)^t,(1+i)^-t =800sumt=1^Nr^t =800;r;r^N-1r-1
Para liquidação requeremos
800,r,r^N-1r-1 = L

Passo 4

Na parte (a) L=100,000. Isolando r^N,
r^N - 1 = L,(r-1)800,r, r^N =1 + 100000,(r-1)800,r,
N = ln!l(1 + tfrac100000,(r-1)800,rr)ln(r)

Passo 5

Numéricos:
i=(1,09)^1/12-1approx0,007207, g=0,008333, r=1,0083331,007207approx1,001118
Então
1+100000,(r-1)800,rapprox1,13955, ln(r)approx0,001117,
Napproxln(1,13955)0,001117approx117,0 meses

Passo 6

Convertendo 117 meses em anos e meses dá cerca de 9 anos e 9 meses.

Passo 7

Para a parte (b) fixamos N=20 anos =240 meses e calculamos o valor presente máximo Lmax:
Lmax =800,r,r^240-1r-1

Passo 8

Usando rapprox1,001118 e
r^240approx e^240ln rapprox e^0,2681approx1,3076,
obtemos
Lmax approx800cdot1,001118;1,3076-10,001118 approx220,500

Resposta

(a) O empréstimo de R$ será liquidado em cerca de meses (aproximadamente anos e meses).
(b) Em anos ( meses), o programa de pagamento permite amortizar até cerca de R$ .

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