Calcule a área da região limitada pelas curvas:
y=x^4, y=x^8;

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y = x^4
e
y = x^8
O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas pelo método da integral definida: encontramos interseções, determinamos qual é a curva de cima e qual é a de baixo e integramos a diferença.

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção resolvendo
x^4 = x^8
x^8 - x^4 = x^4(x^4 - 1) = 0
Logo x=0 ou x^4=1, o que dá x=pm1. Os pontos de interseção são (-1,1), (0,0) e (1,1).

Passo 3

Para -1<= x<=1, vale 0<= x^4<=1, então (x^4)^2 = x^8 <= x^4. Assim, a curva de cima é y=x^4 e a de baixo é y=x^8.

Passo 4

O elemento de área é a diferença entre as curvas em cada x. Como as funções são pares, podemos integrar de 0 a 1 e multiplicar por 2:
A = integral-1^1l(x^4 - x^8r),dx = 2integral0^1l(x^4 - x^8r),dx

Passo 5

Calculamos as integrais básicas:
integral0^1x^4,dx = [x^55]0^1 = 15,
integral0^1x^8,dx = [x^99]0^1 = 19
Logo
A = 2l(tfrac15 - tfrac19r) = 2cdot9-545 = 2cdot445 = 845

Resposta

845

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