Calcule a área da região limitada pelas curvas:
y=x^3, y=x^4;

Passo 1

Queremos achar a área da região limitada pelas curvas y = x^3 e y = x^4. Esse tipo de problema entra na matéria de cálculo de área entre curvas, que se resolve usando integrais definidas: primeiro identificamos os pontos de interseção e depois integramos a diferença entre a função superior e a inferior no intervalo obtido.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos x^3 = x^4 e resolvemos:
x^3 - x^4 = 0
x^3(1 - x) = 0

Passo 3

Logo as soluções são x = 0 e x = 1. Esses serão os limites de integração.

Passo 4

Precisamos descobrir qual curva fica por cima em [0,1]. Observa que, para 0 < x < 1, temos x^3 > x^4. Assim, a função superior é y = x^3 e a inferior é y = x^4.

Passo 5

Agora montamos a integral da diferença entre a curva superior e a inferior e calculamos:
integral0^1 l(x^3 - x^4r),dx

Passo 6

Aplicando o teorema fundamental do cálculo e encontrando a antiderivada:
[x^44 - x^55]0^1 = 14 - 15 = 120

Resposta

120

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