Calcule a área da região limitada pelas curvas:
y=x^5, y=x;

Passo 1

Estamos com um problema de cálculo de área entre duas curvas, que é um conteúdo de integração definida. A ideia é encontrar onde as curvas se cruzam, identificar qual função fica por cima em cada trecho e usar a fórmula da área entre curvas: A=integral (ftopo - ffundo),dx.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, resolvemos a equação x^5 = x. Isso dá
x^5 - x = x(x^4 - 1) = 0 implies x = 0, ; x^4 = 1 implies x = pm1

Passo 3

Precisamos saber, em cada intervalo delimitado por -1,0,1, qual curva vale mais. Tomando um ponto em [-1,0], por exemplo x=-0.5, vemos x^5=-0.03125 > -0.5 = x, então y=x^5 está acima de y=x naquele trecho. Em [0,1], para x=0.5 temos x^5=0.03125 < 0.5 = x, então y=x fica acima de y=x^5.

Passo 4

Montamos então a área como a soma de duas integrais:
A = integral-1^0l(x^5 - xr),dx + integral0^1l(x - x^5r),dx

Passo 5

Calculando cada parte, encontramos
integral-1^0(x^5 - x),dx = 13, integral0^1(x - x^5),dx = 13,
logo a soma das áreas parciais é tfrac13 + tfrac13.

Resposta

tfrac23

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