Calcule a área da região limitada pelas curvas y=x^2+2 x+3 e y=2 x+4.

Passo 1

O enunciado pede a área da região do plano limitada pelas curvas
y = x^2 + 2x + 3
e
y = 2x + 4
Este é um problema de cálculo de área por integração, em que precisamos:
  1. Determinar os pontos de interseção das duas curvas.
  2. Verificar qual delas está “por cima” no intervalo entre essas interseções.
  3. Integrar a diferença entre as funções naquele intervalo.

Passo 2

Para achar os pontos onde as curvas se cruzam, igualamos
x^2 + 2x + 3 = 2x + 4
Subtraindo 2x+4 de ambos os lados, obtemos
x^2 + 2x + 3 - (2x + 4) = 0 Longrightarrow x^2 - 1 = 0
As raízes são
x = pm 1

Passo 3

Precisamos saber qual função é maior para x entre -1 e 1. Tomando x=0, temos
parábola: y(0)=0^2+2cdot0+3=3, reta: y(0)=2cdot0+4=4, á
logo a reta y=2x+4 fica acima da parábola y=x^2+2x+3 nesse intervalo.

Passo 4

A área desejada é dada pela integral definida da reta menos a parábola de -1 a 1:
Área = integral-1^1l[(2x+4)-(x^2+2x+3)r],dx = integral-1^1l(-x^2+1r),dx Á

Passo 5

Calculando a integral:
integrall(-x^2+1r),dx = -x^33 + x,
portanto
integral-1^1l(-x^2+1r),dx =l[-tfracx^33+xr]-1^1 =l(-tfrac13+1r)-l(-(-tfrac13)-1r) =tfrac23-(-tfrac23) =tfrac43

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é tfrac43.

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