Determine se cada integral imprópria abaixo é convergente ou divergente.
integral-infty^infty x1+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
integral-infty^inftyx1+x^2,d x
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é tratamento de integrais sobre domínio não limitado, que se analisam separando em dois limites próprios.

Passo 2

Note que a função
f(x)=x1+x^2
é ímpar, pois f(-x)=-f(x). Isso faz o valor principal de Cauchy ser zero, mas não garante convergência da integral definida no sentido impropriamente separado.

Passo 3

Calcule um antiderivado de f. Usando a substituição u=1+x^2 ou reconhecendo derivada direta, temos
integral x1+x^2,d x =12lnl(1+x^2r)+C

Passo 4

Estude a parte de 0 a +infty:
integral0^Rx1+x^2,d x =12lnl(1+R^2r)-12ln(1+0^2) =12lnl(1+R^2r)
Quando Rtoinfty, ln(1+R^2)toinfty, logo essa parcela diverge para +infty.

Passo 5

Estude a parte de -infty a 0:
integral-R^0x1+x^2,d x =12ln(1+0^2)-12lnl(1+R^2r) =-12lnl(1+R^2r)
Quando Rtoinfty, isso tende a -infty, ou seja, também diverge.

Passo 6

Como nenhuma das metades da integral converge, a integral imprópria total
integral-infty^inftyx1+x^2,d x
é divergente.

Resposta

A integral é divergente.

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