Determine se cada integral imprópria abaixo é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é tratamento de integrais sobre domínio não limitado, que se analisam separando em dois limites próprios.
Passo 2
Note que a função
é ímpar, pois
. Isso faz o valor principal de Cauchy ser zero, mas não garante convergência da integral definida no sentido impropriamente separado.
Passo 3
Calcule um antiderivado de
. Usando a substituição
ou reconhecendo derivada direta, temos
Passo 4
Estude a parte de
a
:
Quando
,
, logo essa parcela diverge para
.
Passo 5
Estude a parte de
a
:
Quando
, isso tende a
, ou seja, também diverge.
Passo 6
Como nenhuma das metades da integral converge, a integral imprópria total
é divergente.
Resposta
A integral é divergente.