Qual integral fornece a área da região abaixo da curva y=2 x e acima da curva y=x^2-4 x ?

Passo 1

O enunciado pede a integral que fornece a área da região limitada pelas curvas y=2x e y=x^2-4x. O conteúdo aplicado é cálculo de área entre curvas via integral definida, tomando a função superior menos a inferior.

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção resolvendo
2x = x^2 - 4x
Isso leva a
x^2 - 6x = 0Longrightarrow x(x-6)=0,
ou seja, as abscissas de interseção são x=0 e x=6.

Passo 3

Para 0 <= x <= 6, a reta y=2x está acima do polinômio y=x^2-4x. Portanto, o integrando (altura da “fatia” elementar) é
2x - l(x^2-4xr) = 6x - x^2

Passo 4

Logo, a área procurada é dada pela integral definida da diferença entre as curvas, nos limites encontrados:
integral0^6l(2x - (x^2-4x)r),dx

Resposta

integral0^6l(2x - (x^2-4x)r),dx

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