Determine se cada integral imprópria abaixo é convergente ou divergente.
integral1^infty 1(3 x+1)^2

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
integral1^infty 1(3x+1)^2,dx
Trata-se de uma integral sobre intervalo infinito cujo integrando decai como x^-2, sugerindo convergência. Para confirmar, usaremos a definição de limite e encontraremos uma antiderivada por substituição.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite de integrais em intervalo finito:
integral1^infty 1(3x+1)^2,dx = limbtoinftyintegral1^b1(3x+1)^2,dx

Passo 3

Para obter a antiderivada, fazemos a troca de variável
u = 3x + 1, du = 3,dx;Longrightarrow;dx=du3
Então
integral 1(3x+1)^2,dx = integral 1u^2cdotdu3 = 13integral u^-2,du = 13l(-u^-1r) = -13u = -13(3x+1)

Passo 4

Avaliamo-la entre x=1 e x=b e tomamos btoinfty:
limbtoinftyl[-13(3x+1)r]1^b = limbtoinftyl(-13(3b+1) + 13cdot4r) = 0 + 112 = 112
O valor limite é finito, portanto a integral converge.

Resposta

A integral é convergente e seu valor é 112.

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