Determine se cada integral imprópria abaixo é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
Trata-se de uma integral sobre intervalo infinito cujo integrando decai como
, sugerindo convergência. Para confirmar, usaremos a definição de limite e encontraremos uma antiderivada por substituição.
Passo 2
Escrevemos a integral como limite de integrais em intervalo finito:
Passo 3
Para obter a antiderivada, fazemos a troca de variável
Então
Passo 4
Avaliamo-la entre
e
e tomamos
:
O valor limite é finito, portanto a integral converge.
Resposta
A integral é convergente e seu valor é
.