Calcule a integral:
integral0^2 raiz4-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^2raiz4-x^2,dx. Esse é um problema de integrais definidas que pode ser resolvido por substituição trigonométrica, pois a expressão raiz4-x^2 remete a uma relação pitagórica. Vamos usar a substituição
x = 2sintheta

Passo 2

Com x=2sintheta temos
dx = 2costheta,dtheta e raiz4-x^2 = raiz4-4sin^2theta = 2costheta,
pois no intervalo que nos interessa costheta>=0.

Passo 3

Quando x=0 segue sintheta=0, isto é theta=0.
Quando x=2 segue sintheta=1, isto é theta=tfracpi2.
Portanto
integral0^2raiz4-x^2,dx = integral0^pi/2(2costheta),(2costheta),dtheta = integral0^pi/24cos^2theta,dtheta

Passo 4

Para integrar integral0^pi/24cos^2theta,dtheta usamos a identidade
cos^2theta = 1+cos2theta2
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4cos^2theta = 4cdot1+cos2theta2 = 2,(1+cos2theta)

Passo 5

Substituindo na integral, obtemos
integral0^pi/24cos^2theta,dtheta = integral0^pi/22,(1+cos2theta),dtheta = 2integral0^pi/21,dtheta + 2integral0^pi/2cos2theta,dtheta
A primeira parte é
2integral0^pi/21,dtheta =2l[thetar]0^pi/2 =2cdotpi2 =pi
A segunda parte é
2integral0^pi/2cos2theta,dtheta =2[sin2theta2]0^pi/2 =l[sin2thetar]0^pi/2 =sinpi-sin0 =0

Passo 6

Somando as duas partes fica
integral0^pi/24cos^2theta,dtheta =pi+0 =pi,
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integral0^2raiz4-x^2,dx = pi

Resposta

pi

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