Calcule a área da região limitada pelas curvas:
y=x, y=3 x e x+y=4.

Passo 1

O enunciado pede a área da região do plano limitada pelas retas y=x, y=3x e x+y=4. Vamos usar geometria analítica para identificar essa região e depois calcular sua área, aplicando a fórmula de área de triângulo em coordenadas.

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção dessas retas:
Interseção de y=x com x+y=4: substituindo y=x em x+x=4
x=2, y=2
Interseção de y=3x com x+y=4: substituindo y=3x em x+3x=4
x=1, y=3
Interseção de y=x com y=3x: resolvendo x=3x
x=0, y=0

Passo 3

A região procurada é precisamente o triângulo com vértices
A=(0,0), B=(2,2), C=(1,3)

Passo 4

Para calcular a área desse triângulo, usamos a fórmula em coordenadas:
Área = 12l|,xA(yB - yC) + xB(yC - yA) + xC(yA - yB)r| Á
Substituindo (xA,yA)=(0,0), (xB,yB)=(2,2) e (xC,yC)=(1,3) obtemos
Área = 12l|,0cdot(2-3) + 2cdot(3-0) + 1cdot(0-2)r| = 12l|,0 + 6 -2r| = 12 cdot 4 = 2 Á

Resposta

A área da região é 2.

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