Questão 5. Avalie as integrais:
integral cot ^2 w csc ^4 w d w

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral cot^2w ,csc^4w ,dw
Esse é um caso de integral trigonométrica que combina cotangente e cosecante e podemos usar substituição.

Passo 2

Observamos que
ddw(cot w) = -csc^2 w
Para aproveitar isso, escrevemos csc^4 w como csc^2 w cdot csc^2 w, de modo que um dos fatores csc^2 w,dw se torne parte de du.

Passo 3

Fazendo a substituição
u = cot w, du = -csc^2 w,dw,
fica csc^2 w,dw = -du. Além disso, usamos a identidade csc^2 w = 1 + cot^2 w = 1 + u^2. Assim a integral vira
integral cot^2w ,csc^4w ,dw = integral u^2,(1+u^2),(-du) = -integral (u^2 + u^4),du

Passo 4

Agora integramos o polinômio em u:
-integral (u^2 + u^4),du = -l(tfracu^33 + tfracu^55r) + C

Passo 5

Voltando à variável original ( u = cot w), obtemos
-cot^3 w3 ;-;cot^5 w5 ;+; C

Resposta

-cot^3 w3 - cot^5 w5 + C

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