Calcule a área da região limitada pelas curvas y=x^2-2 x e y=x. Resp. 92

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a área da região limitada pelas curvas y=x^2−2x e y=x. O conteúdo aqui é área entre curvas, e vamos precisar usar a integral definida da diferença entre a curva superior e a inferior.

Passo 2

Determinar os pontos de interseção: igualamos as duas funções para achar os limites de integração. x^2-2x = xIsso leva a x^2-3x=0implies x(x-3)=0Logo os pontos de interseção são x=0 e x=3.

Passo 3

Identificar curva superior e inferior no intervalo [0,3]: para qualquer x em [0,3], a diferença x−(x2−2x)=−x2+3x≥0, ou seja, y=x está acima de y=x^2−2x. Então a área é dada por integral0^3l[x-(x^2-2x)r]dx=integral0^3(-x^2+3x),dx.

Passo 4

Calcular a integral: usamos integral x^n dx=tfracx^n+1n+1. Assim,
[\int_{0}{3}(-x2+3x),dx = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{3x2}{2}\right]_{0}{3} = \Bigl(-\frac{27}{3}+\frac{3\cdot9}{2}\Bigr) - 0 = -9 + \frac{27}{2} = \frac{9}{2}.

Passo 5

Portanto, a área da região limitada pelas duas curvas é 92.

Resposta

92

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