Calcule a área da região limitada pelas curvas
e
. Resp.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos calcular a área da região limitada pelas curvas y=x^2−2x e y=x. O conteúdo aqui é área entre curvas, e vamos precisar usar a integral definida da diferença entre a curva superior e a inferior.
Passo 2
Determinar os pontos de interseção: igualamos as duas funções para achar os limites de integração.
Isso leva a
Logo os pontos de interseção são x=0 e x=3.
Passo 3
Identificar curva superior e inferior no intervalo [0,3]: para qualquer x em [0,3], a diferença x−(x2−2x)=−x2+3x≥0, ou seja, y=x está acima de y=x^2−2x. Então a área é dada por
.
Passo 4
Calcular a integral: usamos
. Assim,
[\int_{0}{3}(-x2+3x),dx = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{3x2}{2}\right]_{0}{3} = \Bigl(-\frac{27}{3}+\frac{3\cdot9}{2}\Bigr) - 0 = -9 + \frac{27}{2} = \frac{9}{2}.
Passo 5
Portanto, a área da região limitada pelas duas curvas é
.